Calcule [T]_{B} usando
[T]_{B}=P^{-1} A P
Determine uma base em que A seja diagonal (se possível).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular [T]_{B} usando [T]_{B}=P^{-1}AP.
  2. Determinar uma base em que A seja diagonal (se possível).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma matriz concreta foi dada — não foram fornecidos nem A nem P nem a base original. Portanto, não há dados numéricos para efetuar multiplicações ou inversões específicas.

Passo 2

O que significa a fórmula [T]_{B}=P^{-1}AP? Vou explicar passo a passo de forma bem didática e com linguagem leve.
  • Seja T um operador linear em um espaço vetorial de dimensão n.
  • Seja A a matriz de T em uma base fixa (por exemplo, a base canônica). Ou seja, A=[T]_{\mathcal{E}} onde \mathcal{E} é a base original.
  • Seja B=(v_1,\dots,v_n) uma outra base do mesmo espaço. A matriz P é a matriz de mudança de base que tem como colunas as coordenadas dos vetores de B expressos na base original. Em fórmulas: a j-ésima coluna de P é [v_j]_{\mathcal{E}}.
  • A relação [T]_{B}=P^{-1}AP significa: para converter a representação de T da base original para a base B, aplica-se conjugação por P. Intuição: P transforma coordenadas em B para coordenadas na base original; P^{-1} faz o inverso.
Resumo prático:
  • Se souberes A e souberes os vetores v_1,\dots,v_n da base B (em coordenadas da base original), constróis P com essas colunas e calculas P^{-1}AP.

Passo 3

Como calcular P^{-1} (passo obrigatório antes de fazer P^{-1}AP)?
  • Condição: P é invertível se e somente se \det(P)\neq 0. Isso equivale a dizer que as colunas de P (os vetores de B) são linearmente independentes — ou seja, realmente formam uma base.
  • Métodos práticos para inverter P:
    1. Fórmula direta para 2\times2. Se P=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, então P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix},\qquad \det(P)=ad-bc.
    2. Para n\times n geral: usar eliminação de Gauss–Jordan (anexar a identidade e reduzir [P\\ |\\ I] para [I\\ |\\ P^{-1}]). Esse é o método prático de prova e cálculo manual.
  • Dica: faça operações com inteiros/racionais sempre que possível para não depender de calculadora.

Passo 4

Como calcular o produto P^{-1}AP na prática (ordem e passos)?
  • Ordem importa: primeiro calcula-se AP ou P^{-1}A, depois multiplica-se pelo restante. Uma sequência conveniente é:
    1. Calcular M = A P. (Multiplicar A pela matriz P.)
    2. Calcular [T]_{B} = P^{-1} M. (Multiplicar P^{-1} por M.)
  • Cada multiplicação de matrizes é feita linha por coluna: entrada (i,j) do produto XY é \sum_{k=1}^{n} X_{ik}Y_{kj}.
  • Trabalha linha a linha e coluna a coluna, e simplifica frações logo que aparecerem.

Passo 5

Quando é possível escolher uma base em que A seja diagonal? (teoria e procedimento)
  • Definição: Uma matriz A é diagonalizável se existe uma base formada por autovetores de A. Nesse caso existe invertível P tal que P^{-1}AP=D e D é diagonal com autovalores na diagonal.
  • Procedimento para verificar e construir essa base:
    1. Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
    2. Encontrar os autovalores \lambda_1,\dots,\lambda_m (raízes de \chi_A), com suas multiplicidades algébricas m_1,\dots,m_m.
    3. Para cada autovalor \lambda_i, resolver o sistema (A-\lambda_i I)x=0 para obter o espaço próprio (autovetores) E_{\lambda_i}. A dimensão de E_{\lambda_i} é a multiplicidade geométrica g_i.
    4. Critério de diagonalização: A é diagonalizável se, para todo i, g_i = m_i (i.e., a soma das dimensões dos espaços próprios é n). Em outras palavras, existe um total de n autovetores linearmente independentes.
    5. Se diagonalizável: escolha uma base B composta por um conjunto de m_i autovetores linearmente independentes de cada espaço próprio E_{\lambda_i}. Ordenando as colunas de P de acordo com esses vetores, obtém-se P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\\ &\ddots& & \\\ & & \lambda_m & \end{pmatrix},
    onde cada \lambda_i aparece na diagonal tantas vezes quanto sua multiplicidade algébrica.
  • Se algum g_i < m_i, não é possível diagonalizar A sobre o campo considerado (normalmente \mathbb{R} ou \mathbb{C}).

Passo 6

Exemplo completo (modelo prático 2×2) — para aprender fazendo
Considere como exemplo (apenas para demonstrar o algoritmo) as matrizes
A=\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&3\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Vou mostrar como calcular [T]_{B}=P^{-1}AP passo a passo.
  1. Calcular \det(P):
\det(P)=1\cdot0-1\cdot1=-1\neq0,
logo P é invertível.
  1. Calcular P^{-1} pela fórmula 2\times2:
P^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\\\ -1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
  1. Calcular AP:
AP=\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot1 & 2\cdot1+1\cdot0\\\\ 0\cdot1+3\cdot1 & 0\cdot1+3\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&2\\\ 3&0\end{pmatrix}.
  1. Calcular [T]_{B}=P^{-1}(AP):
[T]_{B}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\\ 3&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot3+1\cdot3 & 0\cdot2+1\cdot0\\\\ 1\cdot3+(-1)\cdot3 & 1\cdot2+(-1)\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&2\end{pmatrix}.
Resultado: [T]_{B}=\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&2\end{pmatrix}, que é diagonal neste exemplo. Observação: aqui os vetores-coluna de P foram escolhidos de forma que fossem autovetores de A correspondendo a autovalores 3 e 2 (por isso o resultado diagonal).

Passo 7

Resumo prático do que fazer quando tiveres A e P concretas (cheque-lista que podes seguir na prova):
  1. Verifica que as colunas de P são linearmente independentes (calcula \det(P) ou reduza P). Se \det(P)=0, a fórmula não funciona (não existe P^{-1}).
  2. Calcula P^{-1} (fórmula 2×2 ou Gauss–Jordan para n\times n).
  3. Calcula M=AP.
  4. Calcula [T]_{B}=P^{-1}M.
  5. Para diagonalizar A: calcula \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I), encontra autovalores e suas multiplicidades algébricas; para cada autovalor resolve (A-\lambda I)x=0 e verifica se a soma das dimensões dos espaços próprios é n. Se sim, pega como base B esses n autovetores.

Passo 8

Empurrãozinho final (ânimo): eu não tenho os valores de A nem de P no enunciado que enviaste. Se me mandares A e P (ou só A, caso queiras que eu encontre uma base de autovetores), eu faço o cálculo detalhado passo a passo — sem pular contas — e te mostro explicitamente a base que diagonaliza (quando existir).

Resposta

Não é possível calcular [T]_{B} porque as matrizes A e P não foram fornecidas.
Uma base em que A seja diagonal (se existir) é uma base formada por n autovetores linearmente independentes de A; isto é, A é diagonalizável se e somente se a soma das dimensões dos espaços próprios é n, e então a base buscada é composta por autovetores de A.

Exercícios relacionados