Determine a matriz da transformação
T(x, y)=(x+y, x-y)
na base
B=\{(1,1),(1,-1)\}

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y) = (x+y,\,x-y)
e a base B=\{(1,1),\,(1,-1)\}. O que se pede é: determinar a matriz de T relativa à base B.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de T para um vetor (x,y) é (x+y,\,x-y).
  • A base B tem os vetores b_1=(1,1) e b_2=(1,-1).
  • Precisamos expressar as imagens T(b_1) e T(b_2) em coordenadas relativas à base B e montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para obter a matriz de T na base B, calculo T(b_1) e T(b_2). Cada coluna da matriz [T]_B é o vetor das coordenadas de T(b_i) na base B. Ou seja, se
T(b_i)=\alpha_i b_1+\beta_i b_2,
então a i-ésima coluna de [T]_B é \begin{pmatrix}\alpha_i\\[4pt]\beta_i\end{pmatrix}. Vou aplicar isso explicitamente.]

Passo 3

Calcular T(b_1)\) com \(b_1=(1,1)\): \[T(1,1) = (1+1,\,1-1) = (2,0).
Agora escrevo (2,0) como combinação linear de b_1 e b_2. Procuro \alpha,\beta tais que
(2,0)=\alpha(1,1)+\beta(1,-1).
Escrevendo coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=2,\\[4pt] \alpha-\beta=0. \end{cases}
Somando as equações: 2\alpha=2\Rightarrow\alpha=1\]. Então \(\beta=\alpha=1. Logo, em coordenadas na base B,
[T(b_1)]_B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular T(b_2)\) com \(b_2=(1,-1)\): \[T(1,-1) = (1+(-1),\,1-(-1)) = (0,2).
Escrevo (0,2) como combinação linear de b_1 e b_2. Procuro \gamma,\delta tais que
(0,2)=\gamma(1,1)+\delta(1,-1).
O sistema para as componentes é
\begin{cases} \gamma+\delta=0,\\[4pt] \gamma-\delta=2. \end{cases}
Somando as equações: 2\gamma=2\Rightarrow\gamma=1\]. Então \(\delta=-\gamma=-1. Logo, em coordenadas na base B,
[T(b_2)]_B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz [T]_B: colocar as coordenadas de T(b_1) e T(b_2) como primeira e segunda coluna, respectivamente. Assim
[T]_B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Pequena checagem mental: multiplicando essa matriz pelo vetor de coordenadas de b_1 em B (que é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}) obtém-se \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, que é de fato [T(b_1)]_B; comportamento análogo para b_2.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}]

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