Determine a matriz da transformação
na base
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e a base
. O que se pede é: determinar a matriz de
relativa à base
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de
para um vetor é . - A base
tem os vetores e . - Precisamos expressar as imagens
e em coordenadas relativas à base e montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para obter a matriz de
na base
, calculo
e
. Cada coluna da matriz
é o vetor das coordenadas de
na base
. Ou seja, se
então a
-ésima coluna de
é
. Vou aplicar isso explicitamente.]
Passo 3
Calcular
Agora escrevo
como combinação linear de
e
. Procuro
tais que
Escrevendo coordenadas isso dá o sistema
Somando as equações:
. Logo, em coordenadas na base
,
Passo 4
Calcular
Escrevo
como combinação linear de
e
. Procuro
tais que
O sistema para as componentes é
Somando as equações:
. Logo, em coordenadas na base
,
Passo 5
Montar a matriz
: colocar as coordenadas de
e
como primeira e segunda coluna, respectivamente. Assim
Pequena checagem mental: multiplicando essa matriz pelo vetor de coordenadas de
em
(que é
) obtém-se
, que é de fato
; comportamento análogo para
.]