Determine se
é sobrejetora.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação
definida por
O que está sendo pedido: determinar se
é sobrejetora (isto é, se atinge todo o codomínio). Informações/hipóteses que vou usar (assumindo o enunciado padrão):
- O domínio é
. - Vou assumir que o codomínio também é
(caso o codomínio fosse , a resposta mudaria). - Lembrete do que significa “sobrejetora”:
é sobrejetora se, para todo vetor no codomínio, existe algum vetor no domínio tal que .
Passo 2
Definição detalhada de sobrejetividade (a ideia que vamos aplicar): dizer que
é sobrejetora significa que para todo vetor
existe
tal que
Em símbolos:
é sobrejetora se e somente se
, onde
.
Passo 3
Aplicando a definição: pegue um vetor arbitrário do codomínio e peça um pré-imagem. Seja
Queremos resolver a equação
para
.
Passo 4
Compare componente a componente (essa é a forma mais direta e básica de raciocinar aqui):
Da terceira igualdade obtemos a condição necessária e suficiente para existir pré-imagem:
Ou seja, somente vetores
cuja terceira componente seja
podem ser imagens de algo por
.
Passo 5
Conseqüência prática: nem todo vetor de
satisfaz
. Por exemplo, o vetor
não satisfaz
. Se tentássemos achar
com
obteríamos a contradição
na terceira componente; logo não existe pré-imagem para
. Portanto há vetores do codomínio sem pré-imagem.
Passo 6
Interpretação geométrica/alternativa (útil para prova rápida): a imagem de
é o plano
que é um plano (subespaço de dimensão
) dentro de
. Como esse plano não é todo
,
não é sobrejetora.
Resposta
Não,
não é sobrejetora.