Determine se T(x, y, z)=(x, y, 0) é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação T definida por
T(x,y,z) = (x,y,0).
O que está sendo pedido: determinar se T é sobrejetora (isto é, se atinge todo o codomínio). Informações/hipóteses que vou usar (assumindo o enunciado padrão):
  • O domínio é \mathbb{R}^3.
  • Vou assumir que o codomínio também é \mathbb{R}^3 (caso o codomínio fosse \mathbb{R}^2, a resposta mudaria).
  • Lembrete do que significa “sobrejetora”: T é sobrejetora se, para todo vetor b no codomínio, existe algum vetor v no domínio tal que T(v)=b.

Passo 2

Definição detalhada de sobrejetividade (a ideia que vamos aplicar): dizer que T é sobrejetora significa que para todo vetor \,b\in\mathbb{R}^3 existe (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tal que
T(x,y,z)=b.
Em símbolos: T é sobrejetora se e somente se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3, onde \operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}.

Passo 3

Aplicando a definição: pegue um vetor arbitrário do codomínio e peça um pré-imagem. Seja
b=(b_1,b_2,b_3)\in\mathbb{R}^3.
Queremos resolver a equação
T(x,y,z)=(x,y,0)=(b_1,b_2,b_3)
para (x,y,z).

Passo 4

Compare componente a componente (essa é a forma mais direta e básica de raciocinar aqui):
x=b_1,\qquad y=b_2,\qquad 0=b_3.
Da terceira igualdade obtemos a condição necessária e suficiente para existir pré-imagem:
b_3=0.
Ou seja, somente vetores b cuja terceira componente seja 0 podem ser imagens de algo por T.

Passo 5

Conseqüência prática: nem todo vetor de \mathbb{R}^3 satisfaz b_3=0. Por exemplo, o vetor
(0,0,1)\in\mathbb{R}^3
não satisfaz b_3=0. Se tentássemos achar (x,y,z) com T(x,y,z)=(0,0,1) obteríamos a contradição 0=1 na terceira componente; logo não existe pré-imagem para (0,0,1). Portanto há vetores do codomínio sem pré-imagem.

Passo 6

Interpretação geométrica/alternativa (útil para prova rápida): a imagem de T é o plano
\operatorname{Im}T=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},
que é um plano (subespaço de dimensão 2) dentro de \mathbb{R}^3. Como esse plano não é todo \mathbb{R}^3, T não é sobrejetora.

Resposta

Não, T não é sobrejetora.

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