Calcule:
tan (arcsin (-23)+arccos (14))

Passo 1

O enunciado pede calcular
tanl(arcsin(-tfrac23)+arccos(tfrac14)r).
O conteúdo envolve as funções inversas arcsin e arccos, as razões trigonométricas de um ângulo obtido por essas inversas, e a fórmula da tangente da soma de dois ângulos.

Passo 2

Seja alpha = arcsin(-tfrac23).
Então
sinalpha = -tfrac23 e, como alphain[-tfracpi2,tfracpi2],
cosalpha = raiz1 - sin^2alpha = raiz1 - l(-tfrac23r)^2 = raiztfrac59 = tfracraiz53
Logo
tanalpha = sinalphacosalpha = -tfrac23tfracraiz53 = -2raiz5

Passo 3

Seja beta = arccos(tfrac14).
Então
cosbeta = tfrac14 e, como betain[0,pi],
sinbeta = raiz1 - cos^2beta = raiz1 - l(tfrac14r)^2 = raiz154
Logo
tanbeta = sinbetacosbeta = tfracraiz154tfrac14 = raiz15

Passo 4

Usamos a fórmula da tangente da soma:
tan(alpha+beta) = tanalpha + tanbeta1 - tanalpha,tanbeta
Substituindo tanalpha = -tfrac2raiz5 e tanbeta = raiz15 obtém-se
tan(alpha+beta) = -tfrac2raiz5 + raiz15 1 - l(-tfrac2raiz5r)raiz15 = -tfrac2raiz5 + raiz15 1 + tfrac2raiz15raiz5 = -2 + 5raiz3raiz5,l(1 + 2raiz3r),
pois raiz15=raiz5,raiz3 e tfracraiz15raiz5=raiz3.

Passo 5

Racionalizando o denominador com o conjugado (1 - 2raiz3),
tan(alpha+beta) = (-2+5raiz3)(1-2raiz3)raiz5l(1-(2raiz3)^2r) = -32 + 9raiz3-11raiz5 = 32 - 9raiz311raiz5
Multiplicando numerador e denominador por raiz5,
tan(alpha+beta) = 32raiz5 - 9raiz1555

Resposta

32raiz5 - 9raiz1555

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