Calcule a tangente das curvas no ponto indicado
zeta(theta)=(r(theta-sin (theta)), r(1-cos (theta))), theta=pi / 3

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica zeta(theta)=l(r(theta-sintheta),,r(1-costheta)r) e pede a reta tangente no ponto theta=pi/3. Vamos usar derivada paramétrica para achar a direção da tangente e depois a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Derivamos cada componente de zeta(theta). Para x(theta)=r(theta-sintheta) temos x'(theta)=r(1-costheta). Para y(theta)=r(1-costheta) temos y'(theta)=rsintheta, aplicando a regra da cadeia.

Passo 3

Avalia-se a derivada em theta=pi/3, usando sin(pi/3)=tfracraiz32 e cos(pi/3)=tfrac12. Assim x'(pi/3)=r(1-tfrac12)=tfracr2 e y'(pi/3)=rtfracraiz32=tfracrraiz32.

Passo 4

O declive da reta tangente é m=dfracy'(pi/3)x'(pi/3)=dfractfracrraiz32tfracr2=raiz3.
O ponto de tangência é zeta(pi/3)=l(r(tfracpi3-tfracraiz32),,tfracr2r). Substituindo na forma ponto-declive y-y0=m(x-x0) obtemos a equação da reta tangente.

Resposta

y-tfracr2=raiz3l(x-r(tfracpi3-tfracraiz32)r)

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