MOSTRE Seja X um conjunto, defina oque é uma relação de equivalência entre os elementos de X, i.e:
i) x sim x, forall x in X
ii) x sim y então y sim x, forall x, y in X
iii) x sim y, y sim z, então x sim z, forall x, y, z in X.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto chamado e queremos entender o que é uma relação de equivalência entre os elementos desse conjunto. Para isso, vamos precisar conhecer três propriedades fundamentais: reflexividade, simetria e transitividade. Essas propriedades vão nos ajudar a definir quando duas coisas em estão relacionadas de maneira especial, ou seja, quando elas são equivalentes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Essa propriedade diz que todo elemento está relacionado consigo mesmo. Em termos matemáticos, para qualquer que esteja em , a relação sempre é verdadeira. É como dizer que qualquer coisa é igual a si mesma.

Passo 3

Agora, vamos para a simetria. Isso significa que se um elemento está relacionado com outro elemento , então também está relacionado com . Ou seja, se , então necessariamente . É uma forma de garantir que a relação funciona nos dois sentidos.

Passo 4

Por último, temos a transitividade. Essa propriedade diz que se está relacionado com e está relacionado com , então também está relacionado com . Matemáticamente, se e , então . Isso ajuda a manter a consistência da relação ao longo de vários elementos.

Resposta

Uma relação de equivalência em um conjunto é uma relação que satisfaz as três propriedades de reflexividade ( para todo ), simetria (se , então ) e transitividade (se e , então ). Essas propriedades garantem que os elementos de sejam agrupados em classes de equivalência de forma consistente.

Exercícios relacionados