MOSTRE Seja
um conjunto, defina oque é uma relação de equivalência entre os elementos de
, i.e:
i)
ii)
então
iii)
, então
.
i)
ii)
iii)
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto chamado
e queremos entender o que é uma relação de equivalência entre os elementos desse conjunto. Para isso, vamos precisar conhecer três propriedades fundamentais: reflexividade, simetria e transitividade. Essas propriedades vão nos ajudar a definir quando duas coisas em
estão relacionadas de maneira especial, ou seja, quando elas são equivalentes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Essa propriedade diz que todo elemento está relacionado consigo mesmo. Em termos matemáticos, para qualquer
que esteja em
, a relação
sempre é verdadeira. É como dizer que qualquer coisa é igual a si mesma.
Passo 3
Agora, vamos para a simetria. Isso significa que se um elemento
está relacionado com outro elemento
, então
também está relacionado com
. Ou seja, se
, então necessariamente
. É uma forma de garantir que a relação funciona nos dois sentidos.
Passo 4
Por último, temos a transitividade. Essa propriedade diz que se
está relacionado com
e
está relacionado com
, então
também está relacionado com
. Matemáticamente, se
e
, então
. Isso ajuda a manter a consistência da relação ao longo de vários elementos.
Resposta
Uma relação de equivalência em um conjunto
é uma relação que satisfaz as três propriedades de reflexividade (
para todo
), simetria (se
, então
) e transitividade (se
e
, então
). Essas propriedades garantem que os elementos de
sejam agrupados em classes de equivalência de forma consistente.