Se a gráfica da função não negativa
, com
é dada pela curva parametrizada
a área da região limitada, é calculada com a integral
Usando esta integral, calcule a área da região limitada pelo arco da cicloide
Passo 1
Temos a cicloide dada de forma paramétrica por
Passo 2
O conteúdo que vamos usar é a integral de área sob curva paramétrica em que
onde aqui
Passo 3
Calculamos primeiro a derivada de
:
Passo 4
Logo, a integral de área fica
Passo 5
Para facilitar, expandimos
e lembramos que
Passo 6
Assim o integrando vira
Passo 7
Integramos de
a
:
Passo 8
Portanto
Resposta
3\pi r^2