Se a gráfica da função não negativa y=f(x), com a <= x <= b é dada pela curva parametrizada
x=p(t), y=q(t), alpha <= t <= beta
a área da região limitada, é calculada com a integral
integrala^b y d x=integralalpha^beta q(t) p^prime(t) d t
Usando esta integral, calcule a área da região limitada pelo arco da cicloide
x=r(theta-sin (theta)), y=r(1-cos (theta)), 0 <= x <= 2 pi r, 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Temos a cicloide dada de forma paramétrica por
x = r(theta - sintheta), y = r(1 - costheta), 0 <= theta <= 2pi

Passo 2

O conteúdo que vamos usar é a integral de área sob curva paramétrica em que
integrala^b y,dx = integralalpha^beta q(t),p'(t),dt,
onde aqui p(theta)=r(theta-sintheta) e q(theta)=r(1-costheta).

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de p(theta):
p'(theta)=rl(1-costhetar)

Passo 4

Logo, a integral de área fica
A = integral0^2pi q(theta),p'(theta),dtheta = integral0^2pi r(1-costheta)cdot r(1-costheta),dtheta = r^2integral0^2pi(1-costheta)^2,dtheta

Passo 5

Para facilitar, expandimos
(1-costheta)^2 = 1 - 2costheta + cos^2theta,
e lembramos que
cos^2theta = 1+cos2theta2

Passo 6

Assim o integrando vira
1 - 2costheta + 1+cos2theta2 = 32 - 2costheta + 12cos2theta

Passo 7

Integramos de 0 a 2pi:
integral0^2pi32,dtheta = 3pi, integral0^2picostheta,dtheta = 0, integral0^2picos2theta,dtheta = 0

Passo 8

Portanto
A = r^2 cdot 3pi = 3pi r^2

Resposta

3\pi r^2

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