Integral de Série: Use o Teste da Integral para determinar a convergência da seguinte série:
sumn=1^infty 1n(ln n)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que soma os termos para indo de 1 ao infinito. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Basicamente, vamos transformar essa série em uma integral para ver se a área sob a curva é finita ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos diz que, se a função for positiva, contínua e decrescente para (onde é algum número natural grande o suficiente), então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 3

Vamos verificar as condições:
  1. Positiva: para .
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: Conforme aumenta, também aumenta, então diminui.
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral2^infty 1x(ln x)^2 dx
Escolhi começar de 2 porque e isso causaria problemas na integral.

Passo 5

Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples:
Seja integral 1x(ln x)^2 dx = integral 1u^2 du = -1u + C = -1ln x + C , então .
Substituindo:

Passo 6

Agora, avaliamos o limite da integral definida:
limb to infty ( -1ln b + 1ln 2 ) = 0 + 1ln 2 = 1ln 2
Como esse limite é um número finito, a integral converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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