Integral de Série: Use o Teste da Integral para determinar a convergência da seguinte série:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que soma os termos
para
indo de 1 ao infinito. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Basicamente, vamos transformar essa série em uma integral para ver se a área sob a curva é finita ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos diz que, se a função
for positiva, contínua e decrescente para
(onde
é algum número natural grande o suficiente), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
Passo 3
Vamos verificar as condições:
- Positiva:
para . - Contínua: A função é contínua para
. - Decrescente: Conforme
aumenta, também aumenta, então diminui.
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Escolhi começar de 2 porque
e isso causaria problemas na integral.
Passo 5
Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
.
Substituindo:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite da integral definida:
Como esse limite é um número finito, a integral converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.