Calcule a taxa instantânea de variação com o tempo, 1,0 s após a ligação do circuito, da energia acumulada no capacitor.
Suponha que o capacitor estará descarregado antes da ligação do circuito.
Suponha que o capacitor estará descarregado antes da ligação do circuito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a taxa instantânea de variação da energia acumulada no capacitor, exatamente 1 segundo depois de ligarmos o circuito. Isso envolve conceitos de circuitos elétricos, especificamente de capacitores em circuitos RC (resistor e capacitor). Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia armazenada em um capacitor muda com o tempo quando o circuito é ligado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor é dada pela fórmula:
Aqui, $ U $ é a energia, $ C $ é a capacitância do capacitor e $ V $ é a diferença de potencial (tensão) no capacitor.
Passo 3
Quando ligamos um circuito RC, a tensão no capacitor não sobe instantaneamente para o valor máximo; ela aumenta progressivamente de acordo com a função exponencial:
Onde:
- $ V_0 $ é a tensão da fonte,
- $ R $ é a resistência,
- $ t $ é o tempo,
- $ e $ é a base do logaritmo natural.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a taxa de variação da energia em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dU}{dt} $. Vamos derivar a expressão da energia em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
Derivando em relação a $ t $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa taxa de variação no instante $ t = 1,0 $ segundo:
Resposta
A taxa instantânea de variação da energia acumulada no capacitor, 1,0 s após a ligação do circuito, é: