Calcule a taxa instantânea de variação com o tempo, 1,0 s após a ligação do circuito, da energia acumulada no capacitor.
Suponha que o capacitor estará descarregado antes da ligação do circuito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a taxa instantânea de variação da energia acumulada no capacitor, exatamente 1 segundo depois de ligarmos o circuito. Isso envolve conceitos de circuitos elétricos, especificamente de capacitores em circuitos RC (resistor e capacitor). Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia armazenada em um capacitor muda com o tempo quando o circuito é ligado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor é dada pela fórmula:
U = 12 C V^2
Aqui, $ U $ é a energia, $ C $ é a capacitância do capacitor e $ V $ é a diferença de potencial (tensão) no capacitor.

Passo 3

Quando ligamos um circuito RC, a tensão no capacitor não sobe instantaneamente para o valor máximo; ela aumenta progressivamente de acordo com a função exponencial:
V(t) = V0 (1 - e^-tRC)
Onde:
  • $ V_0 $ é a tensão da fonte,
  • $ R $ é a resistência,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a taxa de variação da energia em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dU}{dt} $. Vamos derivar a expressão da energia em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
dUdt
Derivando em relação a $ t $:
U(t) = 12 C (V0 (1 - e^-tRC))^2
Simplificando:
t
dUdt = 12 C cdot 2 V0 (1 - e^-tRC) cdot (V0RC e^-tRC)

Passo 5

Agora, vamos calcular essa taxa de variação no instante $ t = 1,0 $ segundo:
t = 1,0

Resposta

A taxa instantânea de variação da energia acumulada no capacitor, 1,0 s após a ligação do circuito, é:
dUdt = V0^2R e^-1RC (1 - e^-1RC)

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