Um resistor de 20 k Omega e um capacitor estão ligados em serie, sendo-lhes subitamente aplicado um potencial de 12 V . Sabendo-se que o potencial através do capacitor sobe a 5,0 V em 1,0 mu s, qual é a capacitância do capacitor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito onde um resistor de 20,kOmega e um capacitor estão ligados em série. De repente, aplicamos uma tensão de 12,V. Sabemos que a tensão no capacitor sobe para 5,0,V em 1,0,mus. A pergunta é: qual é a capacitância desse capacitor? Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RC, que envolvem resistores e capacitores em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a tensão no capacitor muda com o tempo em um circuito RC. A fórmula que descreve essa variação é:
Vc(t) = V (1 - e^-tRC)
Aqui:
  • Vc(t) é a tensão no capacitor no tempo t.
  • V é a tensão total aplicada.
  • R é a resistência.
  • C é a capacitância.
  • e é a base dos logaritmos naturais.
Nossa missão é encontrar o valor de C.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
  • Vc(t) = 5,0,V
  • V = 12,V
  • R = 20,kOmega = 20 times 10^3,Omega
  • t = 1,0,mus = 1,0 times 10^-6,s
Substituindo na equação:
5,0 = 12 (1 - e^-1,0 times 10^-620 times 10^3 times C)
Vamos isolar a parte com o e:
5,012 = 1 - e^-1,0 times 10^-620 times 10^3 times C
e^-1,0 times 10^-620 times 10^3 times C = 1 - 5,012
e^-1,0 times 10^-620 times 10^3 times C = 712
Agora, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados para resolver para C:
-1,0 times 10^-620 times 10^3 times C = ln(712)
Isolando C:
C = -1,0 times 10^-620 times 10^3 times ln(712)
Calculando o valor do logaritmo:
ln(712) approx ln(0,5833) approx -0,5391
Substituindo de volta:
C = -1,0 times 10^-620 times 10^3 times (-0,5391) = 1,0 times 10^-620 times 10^3 times 0,5391
Calculando o denominador:
20 times 10^3 times 0,5391 = 10,782
Então:
C = 1,0 times 10^-610,782 approx 9,26 times 10^-8,F

Resposta

A capacitância do capacitor é aproximadamente 9,26 times 10^-8,F.

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