Calcule a taxa máxima possível de oxigênio consumida a
por micro-organismos cujo diâmetro é de
, suspensos em uma solução aquosa agitada. Considere que o líquido que circunda os micro-organismos é saturado com oxigênio
do ar a 1 atm de pressão absoluta. Também será considerado que os micro-organismos são capazes de utilizar o oxigênio muito mais rapidamente do que este consegue difundir até eles. A densidade dos micro-organismo é muito próxima à da água. Use os dados físicos do Exemplo 3 (Aula 14). [Dica: uma vez que o
é consumido muito mais rapidamente do que é fornecido, a concentração
na superfície é zero. A concentração
na solução é a saturação] (Resposta:
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a taxa máxima de consumo de oxigênio a
por micro-organismos com diâmetro de
, que estão suspensos em uma solução aquosa agitada. A gente vai trabalhar com conceitos de transferência de massa, especificamente difusão de oxigênio na água até os micro-organismos. Para resolver isso, precisamos entender como o oxigênio se difunde no líquido e como os micro-organismos o consomem. Vamos precisar usar fórmulas de difusão e considerar que a concentração de oxigênio na superfície dos micro-organismos é zero, já que eles consomem o oxigênio mais rápido do que ele chega.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a concentração de oxigênio na superfície dos micro-organismos (
) é zero. Isso quer dizer que, na interface entre o micro-organismo e o líquido, todo o oxigênio disponível é rapidamente consumido, então não sobra nenhum. Por outro lado, a concentração de oxigênio na solução ao redor (
) está saturada, ou seja, está no máximo que a água pode dissolver de oxigênio sob as condições dadas.
Passo 3
Para calcular a taxa de transferência de massa (
) do oxigênio para os micro-organismos, usamos a seguinte fórmula da transferência de massa por difusão:
Como
, a equação simplifica para:
Aqui,
é o coeficiente de transferência de massa, e
é a concentração de oxigênio na solução.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o coeficiente de transferência de massa (
). Em sistemas esféricos como micro-organismos, uma boa aproximação para
é dada pela seguinte relação:
Onde:
-
é o coeficiente de difusão do oxigênio na água. -
é o raio do micro-organismo.
Como o diâmetro dos micro-organismos é
, o raio
será metade disso:
Passo 5
Precisamos do valor de
, o coeficiente de difusão do oxigênio na água a
. Supondo que usamos o valor do Exemplo 3 da Aula 14, vamos considerar
.
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Agora que temos
, podemos calcular a taxa máxima de consumo de oxigênio (
) usando a equação que vimos:
Para isso, precisamos saber a concentração de oxigênio saturado na água a
. Novamente, assumindo dados do Exemplo 3 da Aula 14, digamos que
.
Substituindo os valores:
Resposta
A taxa máxima possível de oxigênio consumida é
e
.