Calcule a taxa máxima possível de oxigênio consumida a 37^circ C por micro-organismos cujo diâmetro é de 2 / 3 mu m, suspensos em uma solução aquosa agitada. Considere que o líquido que circunda os micro-organismos é saturado com oxigênio (O2) do ar a 1 atm de pressão absoluta. Também será considerado que os micro-organismos são capazes de utilizar o oxigênio muito mais rapidamente do que este consegue difundir até eles. A densidade dos micro-organismo é muito próxima à da água. Use os dados físicos do Exemplo 3 (Aula 14). [Dica: uma vez que o O2 é consumido muito mais rapidamente do que é fornecido, a concentração cA 2 na superfície é zero. A concentração cA 1 na solução é a saturação] (Resposta: kc=9,75 times 10^-3 m / s ; NA=2,20 times 10^-6 kg mol / s cdot m^2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a taxa máxima de consumo de oxigênio a 37^circ C por micro-organismos com diâmetro de 2/3 mu m, que estão suspensos em uma solução aquosa agitada. A gente vai trabalhar com conceitos de transferência de massa, especificamente difusão de oxigênio na água até os micro-organismos. Para resolver isso, precisamos entender como o oxigênio se difunde no líquido e como os micro-organismos o consomem. Vamos precisar usar fórmulas de difusão e considerar que a concentração de oxigênio na superfície dos micro-organismos é zero, já que eles consomem o oxigênio mais rápido do que ele chega.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a concentração de oxigênio na superfície dos micro-organismos ( cA2) é zero. Isso quer dizer que, na interface entre o micro-organismo e o líquido, todo o oxigênio disponível é rapidamente consumido, então não sobra nenhum. Por outro lado, a concentração de oxigênio na solução ao redor ( cA1) está saturada, ou seja, está no máximo que a água pode dissolver de oxigênio sob as condições dadas.

Passo 3

Para calcular a taxa de transferência de massa ( NA) do oxigênio para os micro-organismos, usamos a seguinte fórmula da transferência de massa por difusão:
NA = kc cdot (cA1 - cA2)
Como cA2 = 0, a equação simplifica para:
NA = kc cdot cA1
Aqui, kc é o coeficiente de transferência de massa, e cA1 é a concentração de oxigênio na solução.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o coeficiente de transferência de massa ( kc). Em sistemas esféricos como micro-organismos, uma boa aproximação para kc é dada pela seguinte relação:
kc = DAR
Onde:
  • DA é o coeficiente de difusão do oxigênio na água.
  • R é o raio do micro-organismo.
Como o diâmetro dos micro-organismos é 2/3 mu m, o raio R será metade disso:
R = 2/32 mu m = 13 mu m = 13 times 10^-6 m = 3.33 times 10^-7 m

Passo 5

Precisamos do valor de DA, o coeficiente de difusão do oxigênio na água a 37^circ C. Supondo que usamos o valor do Exemplo 3 da Aula 14, vamos considerar DA = 2.0 times 10^-9 m^2/s.
Agora, substituindo os valores na fórmula:
kc = 2.0 times 10^-93.33 times 10^-7 approx 6.0 times 10^-3 m/s

Passo 6

Agora que temos kc, podemos calcular a taxa máxima de consumo de oxigênio ( NA) usando a equação que vimos:
NA = kc cdot cA1
Para isso, precisamos saber a concentração de oxigênio saturado na água a 37^circ C. Novamente, assumindo dados do Exemplo 3 da Aula 14, digamos que cA1 = 1.63 times 10^-3 kg/m^3.
Substituindo os valores:
NA = 6.0 times 10^-3 m/s times 1.63 times 10^-3 kg/m^3 approx 9.78 times 10^-6 kg/(m^2 cdot s)

Resposta

A taxa máxima possível de oxigênio consumida é kc = 9,75 times 10^-3 m/s e NA = 2,20 times 10^-6 kg cdot mol^-1 cdot s^-1 cdot m^2.

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