Calcule a taxa de transferência de calor entre 2 placas separadas por uma distância de 1 cm . Considere a emissividade de cada placa igual a 0,5 . Uma das placas está a 300 K e a segunda a 250 K . Calcule a taxa quando:
Quando não há matéria entre as placas (ambiente evacuado);

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Distância entre as placas: 1\\ \text{cm} (ou seja, 0{,}01\\ \text{m}).
  • Emissividades: \varepsilon_1=0{,}5 e \varepsilon_2=0{,}5.
  • Temperaturas: T_1=300\\ \text{K} e T_2=250\\ \text{K}.
  • Ambiente evacuado (não há matéria entre as placas).
    Pedido: calcular a taxa de transferência de calor entre as duas placas. Como a área não foi fornecida, vamos calcular o fluxo de calor por unidade de área (taxa por metro quadrado), isto é, q'' em \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmula que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
  • A radiação emitida por um corpo negro à temperatura T é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
E_b=\sigma T^4,
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Aqui \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Explicação: E_b é a potência radiantente por unidade de área de um corpo perfeitamente negro. A potência cresce muito rápido com a temperatura porque é proporcional a T^4.
  • Emissividade \varepsilon (entre 0 e 1) mede quanto uma superfície emite em comparação com um corpo negro à mesma temperatura. Para uma superfície cinzenta (gray), a emissão real por unidade de área é \varepsilon\sigma T^4.

Passo 3

Intercâmbio radiativo entre duas placas paralelas grandes e planas (visando a prova — passo a passo do raciocínio):
  • Para duas placas planas, grandes, paralelas e com fator de vista F_{12}=1 (cada face “vê” totalmente a outra), o fluxo radiativo líquido por unidade de área, levando em conta emissividades finitas \varepsilon_1 e \varepsilon_2, é dado por a fórmula padrão:
q''=\frac{\sigma\left(T_1^4-T_2^4\right)}{\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1}.
Breve justificativa física: a troca radiativa pode ser pensada como uma diferença de “fontes” \sigma T^4 com resistências devido às emissividades; a expressão acima é a forma compacta resultante desse circuito radiativo.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos valores dados (primeira parte: calcular T_1^4 e T_2^4):
  • Calcule T_1^4:
300^4 = \left(3\times10^2\right)^4 = 3^4 \times 10^8 = 81 \times 10^8 = 8{,}1\times10^{9}.
  • Calcule T_2^4:
250^4 = \left(2{,}5\times10^2\right)^4 = 2{,}5^4 \times 10^8 = 39{,}0625 \times 10^7 = 3{,}90625\times10^{9}.
  • Diferença:
T_1^4-T_2^4 = 8{,}1\times10^{9} - 3{,}90625\times10^{9} = 4{,}19375\times10^{9}.

Passo 5

Calcular o numerador \sigma\left(T_1^4-T_2^4\right):
  • Use \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}. Então
\sigma\left(T_1^4-T_2^4\right)=5{,}670374419\times10^{-8}\times4{,}19375\times10^{9}.
  • Multiplicando os mantissas e somando expoentes:
5{,}670374419\times4{,}19375 \approx 23{,}7801327
e o fator de potência é 10^{-8+9}=10^{1}. Logo
\sigma\left(T_1^4-T_2^4\right)\approx 23{,}7801327\times10^{1} = 237{,}801327\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
(Em termos práticos: \sigma\Delta T^4 \approx 237{,}80\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.)

Passo 6

Calcular o denominador com as emissividades e obter q'':
  • Denominador:
\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1 = \dfrac{1}{0{,}5}+\dfrac{1}{0{,}5}-1 = 2+2-1 = 3.
  • Portanto
q''=\frac{237{,}801327}{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}\approx 79{,}267109\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Arredondando de forma razoável para a prova (duas casas decimais):
q''\approx 79{,}27\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 7

Observações finais e dicas para prova:
  • Note que a separação de 1\\ \text{cm} não entrou no cálculo: para placas grandes e paralelas o fator de vista é 1 independentemente da distância (enquanto as placas forem grandes e se “verem” completamente). Por isso a distância só importaria se as dimensões ou o posicionamento impedissem F_{12}=1.
  • Se a área A das placas for conhecida, a taxa total seria \dot Q = q''\times A.
  • Você mandou bem em procurar exercício com cálculo passo a passo — fixa essa fórmula na cabeça: para duas placas cinzentas paralelas use sempre \displaystyle q''=\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)}{1/\varepsilon_1+1/\varepsilon_2-1}. Confia — isso resolve rápido na prova!

Resposta

q''=79{,}27\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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