Calcule a taxa de transferência de calor entre 2 placas separadas por uma distância de 1 cm . Considere a emissividade de cada placa igual a 0,5 . Uma das placas está a 300 K e a segunda a 250 K . Calcule a taxa quando:
Ar preenche o espaço entre as placas. A condutividade térmica do ar: k=0,0219 \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C};

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor entre duas placas paralelas separadas por 1\\ \mathrm{cm}. Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Espaço entre placas: ar com condutividade }k=0,0219\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\!^{\circ}\mathrm{C}^{-1},\\\ &\text{Emissividades: }\varepsilon_1=\varepsilon_2=0,5,\\\ &\text{Temperaturas: }T_1=300\\ \mathrm{K},\quad T_2=250\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Separação: }L=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}. \end{aligned}ççã
Vamos calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor q em \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}), considerando que existem dois mecanismos simultâneos no espaço entre as placas: condução térmica através do ar e troca radiativa entre as superfícies.

Passo 2

Condução pelo ar — lei de Fourier (caso unidimensional e estado estacionário): o fluxo de calor por unidade de área é
q_{\text{cond}} = k\,\frac{T_1-T_2}{L}.
Aqui k é a condutividade térmica do ar em \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1} (aliás o dado em ^\circ\mathrm{C} é numericamente idêntico), T_1-T_2 é a diferença de temperatura em \mathrm{K} e L é a distância entre placas em \mathrm{m}. Substituindo:
T_1-T_2=300-250=50,
q_{\text{cond}}=0,0219\cdot\frac{50}{0,01}=0,0219\cdot 5000=109,5\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.

Passo 3

Radiação entre duas placas paralelas — para superfícies grandes e opacas com fator de vista F_{12}=1, o fluxo radiativo líquido é dado por
q_{\text{rad}}=\frac{\sigma\left(T_1^4-T_2^4\right)}{\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e \varepsilon_i as emissividades. Aqui \sigma=5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}. O denominador representa as resistências radiativas das superfícies (intuitivamente: superfícies não‑pretas aumentam a “resistência” à troca radiativa). Substituindo \varepsilon_1=\varepsilon_2=0,5 obtemos
\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1= \dfrac{1}{0,5}+\dfrac{1}{0,5}-1=2+2-1=3.
Calculamos as potências quartas:
300^4=8{,}10\times10^{9},\qquad 250^4=3{,}90625\times10^{9},
T_1^4-T_2^4=8{,}10\times10^{9}-3{,}90625\times10^{9}=4{,}19375\times10^{9}.
Agora o fluxo radiativo:
q_{\text{rad}}=\frac{5{,}670374419\times10^{-8}\cdot 4{,}19375\times10^{9}}{3}.
Calculando o numerador:
5{,}670374419\times10^{-8}\cdot 4{,}19375\times10^{9}\approx 237{,}80\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2},
dividindo por 3:
q_{\text{rad}}\approx 79{,}27\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.

Passo 4

Como condução pelo ar e troca radiativa ocorrem simultaneamente através do mesmo espaço, o fluxo total por unidade de área é a soma:
q_{\text{total}}=q_{\text{cond}}+q_{\text{rad}}=109{,}5+79{,}27=188{,}77\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.
Arredondando para três algarismos significativos, q_{\text{total}}\approx 188{,}8\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.

Resposta

188{,}8\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}

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