Calcule a taxa de variação instantânea da função
no ponto
isto é calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a taxa de variação instantânea no ponto
, isto é, calcular
. Informações relevantes: a função explícita
e o ponto onde queremos a derivada
.
Passo 2
Vamos usar a definição de derivada no ponto (a forma mais elementar e segura para entender o que estamos fazendo). A derivada de
em
é
Explicando:
é um pequeno incremento em
. A expressão
é a taxa média de variação no intervalo de comprimento
; ao fazer
obtemos a taxa instantânea. Não usamos nenhuma regra pronta ainda, apenas a definição.
Passo 3
Calculo
substituindo
em
:
Agora expandimos passo a passo:
Portanto
Passo 4
Calculo
para usar na diferença:
Passo 5
Formo a diferença quociente e simplifico:
Fatorando
no numerador e cancelando (lembrando que para a razão podemos cancelar quando
; depois tomamos o limite):
Passo 6
Agora aplicamos o limite quando
:
Interpretação rápida: a taxa de variação instantânea de
em
é
. Em linguagem geométrica, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
.
Passo 7
Como checagem rápida (opcional): usando regras de derivação básicas (derivada de
e de uma soma), temos
. Substituindo
dá
, que confirma nosso resultado.