Calcule a taxa de variação instantânea da função f(x)=2 x^{2}-x no ponto x=1 isto é calcule f^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^{2}-x e pede a taxa de variação instantânea no ponto x=1, isto é, calcular f'(1). Informações relevantes: a função explícita f(x)=2x^{2}-x e o ponto onde queremos a derivada x=1.

Passo 2

Vamos usar a definição de derivada no ponto (a forma mais elementar e segura para entender o que estamos fazendo). A derivada de f em a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando: h é um pequeno incremento em x. A expressão \frac{f(a+h)-f(a)}{h} é a taxa média de variação no intervalo de comprimento h; ao fazer h\to0 obtemos a taxa instantânea. Não usamos nenhuma regra pronta ainda, apenas a definição.

Passo 3

Calculo f(1+h) substituindo x=1+h em f(x)=2x^{2}-x:
f(1+h)=2(1+h)^{2}-(1+h).
Agora expandimos passo a passo:
(1+h)^{2}=1+2h+h^{2},
2(1+2h+h^{2})=2+4h+2h^{2},
2+4h+2h^{2}-(1+h)= (2-1) + (4h-h) + 2h^{2} = 1 + 3h + 2h^{2}.
Portanto
f(1+h)=1+3h+2h^{2}.

Passo 4

Calculo f(1) para usar na diferença:
f(1)=2\cdot1^{2}-1=2-1=1.

Passo 5

Formo a diferença quociente e simplifico:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+3h+2h^{2})-1}{h}=\frac{3h+2h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador e cancelando (lembrando que para a razão podemos cancelar quando h\neq0; depois tomamos o limite):
\frac{3h+2h^{2}}{h}=\frac{h(3+2h)}{h}=3+2h.

Passo 6

Agora aplicamos o limite quando h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}(3+2h)=3+2\cdot0=3.
Interpretação rápida: a taxa de variação instantânea de f em x=1 é 3. Em linguagem geométrica, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=1 é 3.

Passo 7

Como checagem rápida (opcional): usando regras de derivação básicas (derivada de x^{n} e de uma soma), temos f'(x)=4x-1. Substituindo x=1 f'(1)=4\cdot1-1=3, que confirma nosso resultado.

Resposta

3

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