Quais as posiçōes mais prováveis de uma particula em uma caixa de comprimento
, no estado
?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais as posições mais prováveis de uma partícula numa caixa de comprimento
, no estado
?”\n
Informações dadas e condições relevantes:
Informações dadas e condições relevantes:
- A partícula está em uma caixa (poço infinito) de comprimento
. - O estado quântico é
. - Em um poço infinito com paredes em
e , a função de onda deve ser zero nas paredes e normalizável dentro de . - A pergunta pede as posições dentro da caixa onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima (ou seja, máximos da densidade de probabilidade).
Passo 2
Função de onda estacionária e normalização.\n
Para o poço infinito (paredes em e
) os autovalores e autofunções conhecidas são
Para o poço infinito (paredes em
e
fora desse intervalo.\n
Breve justificativa da normalização (para aprender a aplicar na prova): a constante vem de exigir que a probabilidade total seja 1, isto é
Breve justificativa da normalização (para aprender a aplicar na prova): a constante
Como
e
, a condição dá
, logo
.
Passo 3
Densidade de probabilidade e interpretação.\n
A densidade de probabilidade (probabilidade por unidade de comprimento) é
A densidade de probabilidade (probabilidade por unidade de comprimento) é
Interpretando: para achar posições mais prováveis, buscamos os pontos
em
onde
é máximo. O fator
é positivo e constante, então os máximos de
ocorrem exatamente onde
é máximo.
Passo 4
Quando
é máximo?\n
Sabemos que atinge o valor máximo
quando
. Isso acontece para
Sabemos que
No nosso problema
. Portanto as posições que tornam a densidade máxima satisfazem
Isolando
obtemos
Para que
esteja dentro da caixa (ou seja
) escolhemos inteiros
tais que
. Isso gera exatamente
valores distintos de
no intervalo aberto
, correspondentes a
.
Passo 5
Aplicando para
.\n
Substituindo na fórmula geral:
Substituindo
com
para ficar dentro de
.\n
Isso dá os cinco máximos:
Isso dá os cinco máximos:
Passo 6
Comentário extra (verificação rápida via derivada).\n
Se preferir confirmar usando cálculo: derive em relação a
,
Se preferir confirmar usando cálculo: derive
Zerando a derivada obtém-se
, isto é
. Esses pontos incluem tanto máximos quanto mínimos; comparar o valor de
(ou a segunda derivada) mostra que os máximos ocorrem para
ímpar, que leva à mesma fórmula
. Portanto a solução está consistente.