Quais as posiçōes mais prováveis de uma particula em uma caixa de comprimento I, no estado n=5 ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais as posições mais prováveis de uma partícula numa caixa de comprimento \,I\,, no estado n=5?”\n
Informações dadas e condições relevantes:
  • A partícula está em uma caixa (poço infinito) de comprimento \,I\,.
  • O estado quântico é \,n=5\,.
  • Em um poço infinito com paredes em \,x=0\, e \,x=I\,, a função de onda deve ser zero nas paredes e normalizável dentro de 0<x<I.
  • A pergunta pede as posições dentro da caixa onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima (ou seja, máximos da densidade de probabilidade).

Passo 2

Função de onda estacionária e normalização.\n
Para o poço infinito (paredes em \,x=0\, e \,x=I\,) os autovalores e autofunções conhecidas são
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{I}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{I}\right),\qquad 0<x<I,
e \psi_n(x)=0 fora desse intervalo.\n
Breve justificativa da normalização (para aprender a aplicar na prova): a constante \sqrt{2/I} vem de exigir que a probabilidade total seja 1, isto é
\int_0^I |\psi_n(x)|^2\,dx=1.
Como |\psi_n(x)|^2 = C^2\sin^2(n\pi x/I) e \int_0^I \sin^2(n\pi x/I)\,dx = I/2, a condição dá C^2\cdot I/2=1, logo C=\sqrt{2/I}.

Passo 3

Densidade de probabilidade e interpretação.\n
A densidade de probabilidade (probabilidade por unidade de comprimento) é
|\psi_n(x)|^2=\frac{2}{I}\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{I}\right).
Interpretando: para achar posições mais prováveis, buscamos os pontos x em (0,I) onde |\psi_n(x)|^2 é máximo. O fator \frac{2}{I} é positivo e constante, então os máximos de |\psi_n(x)|^2 ocorrem exatamente onde \sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{I}\right) é máximo.

Passo 4

Quando \sin^2 é máximo?\n
Sabemos que \sin^2(\theta) atinge o valor máximo 1 quando \sin(\theta)=\pm 1. Isso acontece para
\theta = \frac{(2k+1)\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
No nosso problema \theta=\frac{n\pi x}{I}. Portanto as posições que tornam a densidade máxima satisfazem
\frac{n\pi x}{I}=\frac{(2k+1)\pi}{2}.
Isolando x obtemos
x=\frac{I}{n\pi}\cdot\frac{(2k+1)\pi}{2}=\frac{I(2k+1)}{2n}.
Para que x esteja dentro da caixa (ou seja 0<x<I) escolhemos inteiros k tais que 0<x<I. Isso gera exatamente n valores distintos de x no intervalo aberto (0,I), correspondentes a k=0,1,\dots,n-1.

Passo 5

Aplicando para \,n=5\,.\n
Substituindo n=5 na fórmula geral:
x=\frac{I(2k+1)}{2\cdot 5}=\frac{I(2k+1)}{10},
com k=0,1,2,3,4 para ficar dentro de 0<x<I.\n
Isso dá os cinco máximos:
x=\frac{I}{10},\quad \frac{3I}{10},\quad \frac{5I}{10},\quad \frac{7I}{10},\quad \frac{9I}{10}.

Passo 6

Comentário extra (verificação rápida via derivada).\n
Se preferir confirmar usando cálculo: derive |\psi_n(x)|^2 em relação a x,
\frac{d}{dx}\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{I}\right)=\sin\!\left(\frac{2n\pi x}{I}\right)\cdot\frac{n\pi}{I}.
Zerando a derivada obtém-se \sin\!\left(\frac{2n\pi x}{I}\right)=0, isto é \frac{2n\pi x}{I}=k\pi\Rightarrow x=\frac{kI}{2n}. Esses pontos incluem tanto máximos quanto mínimos; comparar o valor de \sin^2 (ou a segunda derivada) mostra que os máximos ocorrem para k ímpar, que leva à mesma fórmula \frac{I(2k+1)}{2n}. Portanto a solução está consistente.

Resposta

\dfrac{I}{10}\n
\dfrac{3I}{10}\n
\dfrac{5I}{10}\n
\dfrac{7I}{10}\n
\dfrac{9I}{10}

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