Determine os pontos onde a reta tangente à curva y=x^{3}-3 x é horizontal(isto é, a reta tem inclinação 0 ).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida pela função y = x^{3} - 3x e pede: determinar os pontos onde a reta tangente à curva é horizontal (ou seja, onde a reta tangente tem inclinação igual a zero).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y = x^{3} - 3x.
  • Queremos os pontos da curva (valores de x e seus correspondentes y) nos quais a reta tangente tem inclinação 0.

Passo 2

Entendendo o que significa “reta tangente horizontal”:\n
  • A inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente numa curva num ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Vou chamar essa derivada de y' ou \dfrac{dy}{dx}.\n
  • Uma reta tangente é horizontal quando sua inclinação é zero. Portanto, procuramos os pontos onde \dfrac{dy}{dx}=0.\n
    (Aqui não estou resolvendo ainda; só expliquei o que significa a condição que o problema pede.)

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada da função passo a passo usando uma regra simples (a chamada regra da potência):\n
  • Regra da potência: para x^{n} com n sendo um número inteiro positivo, a derivada é n x^{n-1}. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}. Nesta expressão, x é a variável e n é o expoente.\n
  • Aplicando isso termo a termo à função y = x^{3} - 3x:\n
    • A derivada de \;x^{3}\; é \;3x^{2}\; (pela regra da potência com n=3).\n
    • A derivada de \;-3x\; é -3 (porque a derivada de ax em relação a x é a).\n
    • Não há constante independente além desses termos, então não há mais contribuidores.\n
  • Logo a derivada é:
\frac{dy}{dx}=3x^{2}-3

Passo 4

Impondo a condição de tangente horizontal ( \dfrac{dy}{dx}=0) e resolvendo para x:\n
  • Começamos com
3x^{2}-3=0
  • Podemos fatorar 3:
3(x^{2}-1)=0
  • Como 3\neq 0, temos
x^{2}-1=0
  • Esta é uma equação quadrática simples; fatorando:
(x-1)(x+1)=0
  • Assim as soluções são
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-1.

Passo 5

Agora obtemos os correspondentes valores de y substituindo cada x na função y=x^{3}-3x:\n
  • Para x=1:
y = 1^{3}-3\cdot 1 = 1-3 = -2.
  • Para x=-1:
y = (-1)^{3}-3\cdot(-1) = -1 + 3 = 2.

Passo 6

Conclusão e verificação rápida:\n
  • Em x=1 a derivada é 3\cdot1^{2}-3=0, logo a tangente é horizontal e o ponto na curva é (1,-2).\n
  • Em x=-1 a derivada é 3\cdot(-1)^{2}-3=0, logo a tangente é horizontal e o ponto na curva é (-1,2).\n
    Parabéns — já temos os pontos pedidos!

Resposta

(1,-2)\n
(-1,2)

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