Determine os pontos onde a reta tangente à curva
é horizontal(isto é, a reta tem inclinação 0 ).
Passo 1
O enunciado dá a curva definida pela função
e pede: determinar os pontos onde a reta tangente à curva é horizontal (ou seja, onde a reta tangente tem inclinação igual a zero).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Queremos os pontos da curva (valores de
e seus correspondentes ) nos quais a reta tangente tem inclinação .
Passo 2
Entendendo o que significa “reta tangente horizontal”:\n
- A inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente numa curva num ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Vou chamar essa derivada de
ou .\n - Uma reta tangente é horizontal quando sua inclinação é zero. Portanto, procuramos os pontos onde
.\n
(Aqui não estou resolvendo ainda; só expliquei o que significa a condição que o problema pede.)
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada da função passo a passo usando uma regra simples (a chamada regra da potência):\n
- Regra da potência: para
com sendo um número inteiro positivo, a derivada é . Ou seja, . Nesta expressão, é a variável e é o expoente.\n - Aplicando isso termo a termo à função
:\n - A derivada de
é (pela regra da potência com ).\n - A derivada de
é (porque a derivada de em relação a é ).\n - Não há constante independente além desses termos, então não há mais contribuidores.\n
- A derivada de
- Logo a derivada é:
Passo 4
Impondo a condição de tangente horizontal (
) e resolvendo para
:\n
- Começamos com
- Podemos fatorar
:
- Como
, temos
- Esta é uma equação quadrática simples; fatorando:
- Assim as soluções são
Passo 5
Agora obtemos os correspondentes valores de
substituindo cada
na função
:\n
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Conclusão e verificação rápida:\n
- Em
a derivada é , logo a tangente é horizontal e o ponto na curva é .\n - Em
a derivada é , logo a tangente é horizontal e o ponto na curva é .\n
Parabéns — já temos os pontos pedidos!