Exercício 4 - A água que será usada em uma caldeira para gerar vapor é normalmente aquecida com gases de exaustão da própria caldeira, de modo a evitar o desperdício de energia. Para isso utilizou-se um trocador de calor CT 1-2 com 10 tubos de 0,1 \mathrm{~m} de diâmetro interno e 0,12 \mathrm{~m} de diâmetro externo. Cada tubo tem 4 m de comprimento total. A água circula pelo interior dos tubos a uma taxa de mássica de 30 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} em contracorrente ao gás de exaustão, que circula pelo casco. A água utilizada provocou ao longo dos anos uma resistência a incrustração igual a 0,0001 \mathrm{~m}^{2} . \mathrm{K} / \mathrm{W}. As condições atuais indicam uma média logaritmica de temperatura igual a 20 C , com um fator de correção igual a 0,9 . A viscosidade absoluta da água é 0,001 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}, sua condutividade térmica é de 0,6 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e o seu número de Prandt é 4 . O coeficiente de película do lado do gás é de 40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a seguinte equação para descrever a transferência de calor convectiva no interior de tubo para qualquer número de Reynolds: \mathrm{Nu}=(\mathrm{h} . \mathrm{D}) / \mathrm{K}=0,02(\mathrm{Re})^{0.5} \cdot(\mathrm{Pr})^{0.5}, em que h é o coeficiente de transferência de calor, D é o diâmetro do tubo e K a condutividade térmica da água. Assim a taxa de calor em W no trocador de calor está na faixa de: A) 9500 a 11000 ; B) 6500 a 8000 ; C) 4500 a 6000 ; D) 2500 a 4000 e E) 950 a 2000

Passo 1

O enunciado pede para determinar em qual faixa está a taxa de calor (potência térmica) transferida no trocador CT 1-2. Dados relevantes fornecidos (vou listar tudo claramente):
  • Número de tubos: 10.
  • Diâmetro interno do tubo: D_i = 0{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo do tubo: D_o = 0{,}12\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento total de cada tubo: L = 4\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica de água (total pelos 10 tubos): \dot{m} = 30\\ \mathrm{kg/s}.
  • Resistência de incrustração (fouling) causada pela água: R_{f,i} = 0{,}0001\\ \mathrm{m^{2}\,K/W} (esta resistência pertence à superfície interna do tubo, onde circula a água).
  • Diferença média logarítmica de temperatura: \Delta T_{lm} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Fator de correção do LMTD: F = 0{,}9.
  • Viscosidade absoluta da água: \mu = 0{,}001\\ \mathrm{Pa\,s}.
  • Condutividade térmica da água: k = 0{,}6\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • Número de Prandtl da água: \mathrm{Pr} = 4.
  • Coeficiente de película do lado do gás (externo): h_o = 40\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
  • Correlação para o interior do tubo (água): \displaystyle \mathrm{Nu}=\frac{h_i D_i}{k}=0{,}02\,\mathrm{Re}^{0{,}5}\,\mathrm{Pr}^{0{,}5}.
Observações / hipóteses que vou usar (não me perguntou, então escolhi valores padrão razoáveis e justifico):
  • Vou usar densidade da água \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão à temperatura moderada).
  • Vou desprezar a resistência térmica do material do tubo (parede metálica), assumindo que sua condutividade é alta e a espessura é pequena; justifico isso mais adiante.
  • A área a considerar para a troca será a área externa total dos tubos: A_o = N\pi D_o L.
A partir desses dados o objetivo é calcular a potência térmica Q aproximada e ver em qual faixa (A–E) ela cai.

Passo 2

Estratégia geral e fórmula principal: a taxa de calor (potência) em um trocador de calor usando LMTD corrigido é dada por
Q = U_o \, A_o \, F \, \Delta T_{lm},
onde:
  • U_o é o coeficiente global de transferência de calor baseado na área externa ( \mathrm{W/(m^{2}K)});
  • A_o é a área externa total dos tubos ( \mathrm{m^{2}});
  • F é o fator de correção do LMTD (fornecido);
  • \Delta T_{lm} é a diferença média logarítmica de temperatura (fornecida).
Portanto preciso calcular:
  1. A_o.
  2. U_o, que depende das resistências térmicas em série (convecção externa, incrustração, parede do tubo, convecção interna). Vou montar a expressão de resistências por unidade de área externa.
Expressão de resistências por unidade de área externa (baseada em A_o):
\frac{1}{U_o} = \frac{1}{h_o} \;+\; R_{f,o} \;+\; R_{wall} \;+\; \frac{1}{h_i}\cdot\frac{D_o}{D_i},
onde:
  • \dfrac{1}{h_o} é a resistência convectiva do lado externo (já em base de área externa);
  • R_{f,o} é a resistência de incrustração convertida para base de área externa (já que R_{f,i} foi dada por área interna);
  • R_{wall} é a resistência de condução do material da parede (vou avaliar e provavelmente desprezar);
  • \dfrac{1}{h_i}\dfrac{D_o}{D_i} é a resistência convectiva interna convertida para área externa (fator geométrico \dfrac{A_o}{A_i}=\dfrac{D_o}{D_i}).
Nos próximos passos calculo cada termo numericamente.

Passo 3

Calcular a área externa total A_o.
Área externa de um tubo: A_{o,tubo} = \pi D_o L.
Como há N=10 tubos:
A_o = N \pi D_o L.
Substituindo números:
A_o = 10 \cdot \pi \cdot 0{,}12 \cdot 4.
Calculemos:
\pi \cdot 0{,}12 \cdot 4 = \pi \cdot 0{,}48 \approx 1{,}507964\\ \mathrm{m^{2}}
A_o \approx 10 \times 1{,}507964 = 15{,}07964\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando razoavelmente:
A_o \approx 15{,}08\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular o coeficiente convectivo interno h_i usando a correlação de Nusselt dada. Para isso preciso do número de Reynolds \mathrm{Re} e já tenho \mathrm{Pr}.
Primeiro, a vazão mássica por tubo:
\dot{m}_{tubo} = \frac{\dot{m}}{N} = \frac{30}{10} = 3\\ \mathrm{kg/s}.
Área de seção transversal interna de um tubo:
A_c = \frac{\pi D_i^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0{,}01}{4} \approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média da água em cada tubo:
v = \frac{\dot{m}_{tubo}}{\rho A_c}.
Com \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
v = \frac{3}{1000 \times 0{,}00785398} \approx \frac{3}{7{,}85398} \approx 0{,}38197\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{\rho v D_i}{\mu} = \frac{1000 \times 0{,}38197 \times 0{,}1}{0{,}001}.
Calcule:
\mathrm{Re} \approx \frac{38{,}197}{0{,}001} = 38{,}1970 \approx 3{,}82\times 10^{4}.
Agora a correlação da questão para a Nusselt:
\mathrm{Nu} = 0{,}02\,\mathrm{Re}^{0{,}5}\,\mathrm{Pr}^{0{,}5}.
Calcule \mathrm{Re}^{0{,}5} e \mathrm{Pr}^{0{,}5}:
\mathrm{Re}^{0{,}5} \approx \sqrt{38197} \approx 195{,}4, \qquad \mathrm{Pr}^{0{,}5} = \sqrt{4} = 2.
Então:
\mathrm{Nu} \approx 0{,}02 \times 195{,}4 \times 2 \approx 7{,}816.
Agora h_i vem de \mathrm{Nu} = \dfrac{h_i D_i}{k}, logo
h_i = \frac{\mathrm{Nu}\, k}{D_i} = \frac{7{,}816 \times 0{,}6}{0{,}1} \approx 46{,}896\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Arredondando:
h_i \approx 46{,}9\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Comentário didático: isso mostra que o coeficiente interno ficou da mesma ordem de grandeza do coeficiente externo ( h_o=40), o que é comum quando se tem água relativamente lenta em tubos de diâmetro moderado.

Passo 5

Converter a resistência de incrustração (fouling) e montar as resistências sobre a base da área externa.
A resistência fornecida é interna, por área interna:
R_{f,i} = 0{,}0001\\ \mathrm{m^{2}K/W}\\ \text{(por área interna)}.á
Para usar na expressão baseada em A_o é preciso converter para base externa. A relação entre áreas é A_o/A_i = D_o/D_i (mesma largura L). Assim a resistência por unidade de área externa é
R_{f,o} = R_{f,i}\cdot\frac{D_o}{D_i} = 0{,}0001 \times \frac{0{,}12}{0{,}1} = 0{,}0001 \times 1{,}2 = 0{,}00012\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Resistência convectiva externa:
\frac{1}{h_o} = \frac{1}{40} = 0{,}025\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Resistência convectiva interna convertida para base externa:
\frac{1}{h_i}\cdot\frac{D_o}{D_i} = \frac{1}{46{,}896}\times 1{,}2 \approx 0{,}02133 \times 1{,}2 = 0{,}02559\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Agora sobre a resistência da parede do tubo R_{wall}: não foi fornecida a condutividade do material do tubo. Tipicamente a parede é metálica (aço ou cobre) com alta condutividade e espessura pequena t = (D_o-D_i)/2 = 0{,}01\\ \mathrm{m}. Para termos uma ideia, se fosse aço com k_{wall}\sim 40\\ \mathrm{W/(mK)}, a resistência seria muito pequena comparada às resistências de convecção. Podemos estimar:
R_{wall} \sim \frac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi k_{wall} L}\cdot\frac{A_o}{A_o}\\ (\text{por unidade de área externa})\\ \text{(que dá um valor bem pequeno)}.áá
Para simplificar (e porque o enunciado não fornece k_{wall}), vou desprezar R_{wall} e justificar: R_{wall} é tipicamente desprezível frente às resistências convectivas e à incrustração dada. Isto simplifica a expressão sem erro significativo para o objetivo de classificar a faixa de Q.
Agora somo as resistências:
\frac{1}{U_o} = \frac{1}{h_o} + R_{f,o} + \frac{1}{h_i}\cdot\frac{D_o}{D_i}.
Substituindo:
\frac{1}{U_o} = 0{,}025 + 0{,}00012 + 0{,}02559 = 0{,}05071\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Portanto
U_o = \frac{1}{0{,}05071} \approx 19{,}72\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.

Passo 6

Calcular a taxa de calor Q usando a fórmula principal:
Q = U_o \, A_o \, F \, \Delta T_{lm}.
Substituindo os valores encontrados:
U_o \approx 19{,}72\\ \mathrm{W/(m^{2}K)},\quad A_o \approx 15{,}0796\\ \mathrm{m^{2}},\quad F=0{,}9,\quad \Delta T_{lm}=20\\ \mathrm{K}.
Calcule passo a passo:
U_o A_o \approx 19{,}72 \times 15{,}0796 \approx 297{,}27\\ \mathrm{W/K}.
U_o A_o F \approx 297{,}27 \times 0{,}9 \approx 267{,}543\\ \mathrm{W/K}.
Q = 267{,}543 \times 20 \approx 5{,}350{,}86\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
Q \approx 5{,}351\\ \mathrm{W} \approx 5{,}4\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
Comentário prático: esse valor está na faixa de algumas kW; a maior parte das resistências veio das camadas de convecção (interna e externa) e a incrustração adicionou um pequeno aumento de resistência.

Passo 7

Verificação qualitativa das hipóteses: se eu tivesse incluído uma resistência de parede de tubo razoável, ela seria pequena. Por exemplo, mesmo com k_{wall}=20\\ \mathrm{W/(mK)} (valor conservador), a resistência seria pouco significativa frente às \sim 0{,}05\\ \mathrm{m^{2}K/W} já somadas. Assim a aproximação feita é coerente para classificar a faixa pedida pelo enunciado.

Resposta

C) 4500 a 6000

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