Calcule o tempo necessário para que uma membrana gelatinosa de 2 mm de espessura adsorva 58 ( g de álcool)/(L de gel) de um determinado álcool que está presente em uma solução alcóolica de 95 (g de álcool)/(L de solução). Sabe-se que a concentração inicial do soluto é nula no gel e que Bim=0,5 ; Kp=0,95 L de solução/ L de gel; Dcf=6 times 10^-6 cm^2 / s. Resp: 4000 s

Passo 1

O exercício pede que a gente calcule quanto tempo uma membrana gelatinosa de 2 mm de espessura leva pra absorver 58 g de álcool por litro de gel, quando o álcool na solução está a 95 g/L. O conteúdo é transferência de massa por difusão em um “slab” (folha) com resistência de filme na superfície. Vamos usar:
  • Lei de Fick (segunda lei) para o interior do gel,
  • Número de Biot de massa Bim=0,5 (resistência de filme versus difusão interna),
  • Coeficiente de partição Kp=0,95;L,solução/L,>=lçã,
  • Difusividade no gel Dcf=6times10^-6,cm^2/s.
    Como a barra tem 2 mm, na fórmula tratamos L como a meia-espessura ( 1,mm) para o modelo simétrico.

Passo 2

Calcular a concentração de equilíbrio no gel, cinfty, quando a fase externa está a 95 g/L:
cinfty ;=; Kp ;times; 95 ;=; 0,95times95 ;=; 90,25;g/L;>=l

Passo 3

Determinar a fração de saturação que queremos atingir (média do gel):
X ;=;calvocinfty ;=;5890,25;approx;0,643

Passo 4

Para difusão transiente em slab com Bim finito, a fração Mt/Minfty (ou cmédia/cinftyé) é dada por
MtMinfty ;=;1;-;sumn=1^infty An,expl(-lambdan^2,For)
onde
- Fo=D,tL^2 é o número de Fourier,
- lambdan são as raízes de lambdatanlambda=Bim,
- An=4sinlambdan2lambdan+sin2lambdan;

Passo 5

Usamos só o primeiro termo ( n=1) para aproximar bem até Xapprox0,64. Primeiro achamos lambda1 tal que
lambda1tanlambda1 = Bim = 0,5;;longrightarrow;;lambda1approx0,65
Depois,
A1=4sin(0,65)2cdot0,65+sin(2cdot0,65)approx1,07
Igualando à fração desejada X:
X=1 - A1,e^-lambda1^2,Fo longrightarrow e^-lambda1^2,Fo=1-XA1 =1-0,6431,07approx0,333
Tomando ln,
-lambda1^2,Fo = ln(0,333)approx -1,10 ;;Longrightarrow;; Fo = 1,10(0,65)^2approx2,59

Passo 6

Relembre que Fo = D,t/L^2. Como usamos meia-espessura L=1,mm =0,1,cm, temos
t = Fo;L^2D =2,59;(0,1)^26times10^-6 approx4,3times10^3;s

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 4,0times10^3,s.

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