Quando uma força P é aplicada à placa, o perfil de velocidade para um fluido newtoniano confinado sob a placa é aproximado por u=(12 y^1 / 4) mm / s, onde y está em mm . Considere que o óleo é o Lubrax Hydra 46 à 40^circ C.
RESPONDA, em que ponto a tensão de cisalhamento será máxima e em qual ponto será mínima? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um fluido newtoniano preso entre uma placa (sobre a qual aplicamos uma força P) e outra superfície oposta. O perfil de velocidade é dado por
u(y) = 12,y^1/4 mm/s,
com em mm (la medida desde uma das superfícies, digamos a parede fixa em ). O conteúdo da matéria aqui é “mecânica dos fluidos – distribuição de tensões de cisalhamento em fluido newtoniano”. Para resolver vamos precisar de:
  1. A definição de tensão de cisalhamento em fluido newtoniano: .
  2. Calcular a derivada .
  3. Analisar onde essa derivada é maior ou menor e, portanto, onde é máxima e mínima.

Passo 2

Lembra que um fluido newtoniano satisfaz
tau(y) ;=; mu ,dudy,
onde é a viscosidade dinâmica (no nosso caso a do óleo Lubrax Hydra 46 a 40 °C). Como é constante, basta olhar para para saber como varia em .

Passo 3

Vamos derivar o perfil
u(y) = 12,y^1/4
Usando regra de potência:
dudy = 12 cdot 14,y^1/4-1 = 3,y^-3/4
Ou seja,
dudy = 3,y^-tfrac34

Passo 4

Note que é uma função decrescente de :
  • Quando fica pequenininho (próximo de 0), fica muito grande.
  • Quando cresce, cai.
Como com , segue esse mesmo comportamento. Logo:
– Em (a parede fixa), e a tensão de cisalhamento é máxima.
– No outro extremo, onde é maior (na superfície da placa movida por ), é menor e a tensão de cisalhamento é mínima.

Resposta

A tensão de cisalhamento é máxima em (perto da parede fixa) e mínima no ponto de maior (na superfície da placa sobre a qual aplicamos ).

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