Uma haste de aço maciço quente é colocada em uma substância carbonácea. A haste tem uma concentração inicial de carbono
peso. A concentraçào de carbono na superficie da haste, em equilibrio, é
. Determine o tempo necessário para um ponto em
abaixo da superficie atingir uma concentração de
de carbono. A difusividade de carbono no aço é
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos fazer um exercício de difusão (Fick) numa barra semi‐infinita com concentração de superfície constante (carburização).
Enunciado resumido:
• A haste tinha concentração inicial de carbono C₀ = 0,22 % em peso.
• Na superfície, em equilíbrio, C_s = 1,40 %.
• A 0,15 cm de profundidade a gente quer chegar em C(x,t) = 0,78 %.
• A difusividade é D = 5,7·10⁻⁶ cm²/s.
O que precisamos: a solução da segunda lei de Fick para semi‐infinito com superfície mantida em C_s, usar funções de erro (erf) e inverter pra achar t.
Enunciado resumido:
• A haste tinha concentração inicial de carbono C₀ = 0,22 % em peso.
• Na superfície, em equilíbrio, C_s = 1,40 %.
• A 0,15 cm de profundidade a gente quer chegar em C(x,t) = 0,78 %.
• A difusividade é D = 5,7·10⁻⁶ cm²/s.
O que precisamos: a solução da segunda lei de Fick para semi‐infinito com superfície mantida em C_s, usar funções de erro (erf) e inverter pra achar t.
Passo 2
A teoria: para um semi‐infinito com superfície em concentração constante C_s e fundo infinito em C₀, a solução da segunda lei de Fick é
Isso vem de integrar a equação de difusão com as condições de contorno certas e usar a definição da função de erro erf.
Passo 3
Vamos organizar a equação pra achar a variável z = x/(2√(D t)):
- Defina a fração normalizada
- Então
Substituindo os números:
Logo
Passo 4
Agora tiramos a inversa da função erro (tabela ou calculadora):
Como
, temos
Isolando t:
Passo 5
Agora é só calcular:
Numerador: .
Denominador: .
Numerador:
Denominador:
Convertendo pra horas:
Resposta
O tempo necessário é aproximadamente 1,1 h.