Uma haste de aço maciço quente é colocada em uma substância carbonácea. A haste tem uma concentração inicial de carbono CA 0=0,22 % em peso. A concentraçào de carbono na superficie da haste, em equilibrio, é CA e=1,4 %. Determine o tempo necessário para um ponto em 0,15 cm abaixo da superficie atingir uma concentração de 0,78 % de carbono. A difusividade de carbono no aço é 5,7 times 10^-6 cm^2 / s. Resp: 1,1 h

Passo 1

Beleza, vamos fazer um exercício de difusão (Fick) numa barra semi‐infinita com concentração de superfície constante (carburização).
Enunciado resumido:
• A haste tinha concentração inicial de carbono C₀ = 0,22 % em peso.
• Na superfície, em equilíbrio, C_s = 1,40 %.
• A 0,15 cm de profundidade a gente quer chegar em C(x,t) = 0,78 %.
• A difusividade é D = 5,7·10⁻⁶ cm²/s.
O que precisamos: a solução da segunda lei de Fick para semi‐infinito com superfície mantida em C_s, usar funções de erro (erf) e inverter pra achar t.

Passo 2

A teoria: para um semi‐infinito com superfície em concentração constante C_s e fundo infinito em C₀, a solução da segunda lei de Fick é
Isso vem de integrar a equação de difusão com as condições de contorno certas e usar a definição da função de erro erf.

Passo 3

Vamos organizar a equação pra achar a variável z = x/(2√(D t)):
  1. Defina a fração normalizada
  1. Então
Substituindo os números:
C(x,t)-C₀Cs - C₀ =;1 - erf(z)
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Passo 4

Agora tiramos a inversa da função erro (tabela ou calculadora):
Como z = erf^-1(0,5254)approx0,51 , temos
0,51 = 0,152raiz5,7times10^-6,t Longrightarrow 2raiz5,7times10^-6,t = 0,150,51
Isolando t:
raizt = 0,150,51cdot2raiz5,7times10^-6 ;;Longrightarrow;; t = 0,15^24,(5,7times10^-6),(0,51)^2

Passo 5

Agora é só calcular:
Numerador: tapprox0,02255,93times10^-6approx3,8times10^3,s .
Denominador: 3,8times10^3,sdiv3600approx1,05;h .
Convertendo pra horas:

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 1,1 h.

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