Uma seção retangular de um sólido poroso de 0,5 in de espessura é submerso em
de etanol. Os espaços vazios do sólido compõe
do seu volume. O sólido é removido do etanol após absorção completa e colocado em um tanque agitado de água a
. Apenas difusão molecular ocorre nos poros, e a difusividade no interior dos poros é cerca de um décimo do seu valor fora do sólido. Qual o tempo necessário para a fração mássica de etanol no centro do sólido cair para 0,008 ? Assumir a concentraçào de etanol na água sempre zero. Dado
. Resp: 0,126 min
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala de difusão transiente num “filé” retangular (placa) de material poroso que, depois de encharcar em etanol, é mergulhado em água a 80 °F, onde a concentração de etanol na água fica sempre zero. Queremos achar quanto tempo leva até a fração mássica de etanol no centro da placa cair a 0,008.
Conteúdo: difusão unidimensional em placa finita, solução em série de Fourier, e coeficiente de difusão efetivo dentro dos poros.
O que precisamos:
Conteúdo: difusão unidimensional em placa finita, solução em série de Fourier, e coeficiente de difusão efetivo dentro dos poros.
O que precisamos:
- Converter espessura (polegadas → centímetros).
- Calcular difusividade efetiva
. - Usar a solução transiente para uma placa com fronteiras a concentração fixa nula.
- Aproximar pela 1ª termo da série para o centro da placa.
Passo 2
Primeiro, ajeitar os dados e unidades:
- Espessura total da placa =
in → meia-espessura (distância centro → superfície) in. - Em cm:
. - Difusividade no meio poroso:
- Concentração inicial no sólido(100 % etanol) e na água na superfície .
- Queremosno centro ( ).
Passo 3
Teoria rápida: para difusão unidimensional numa placa de meia-espessura
com
e
, a solução em série é
No centro
,
. Pra simplificar, usamos só o primeiro termo (
):
Passo 4
Vamos isolar o tempo
impondo
:
$$\exp!\Big(-\frac{\pi^2D_{\rm ef},t}{4L^2}\Big)
=\frac{0{,}008,\pi}{4}$$
$$-\frac{\pi^2D_{\rm ef},t}{4L^2}
=\ln!\Big(\frac{0{,}008,\pi}{4}\Big)$$
$$t=-,\frac{4L2}{\pi2D_{\rm ef}}
\ln!\Big(\frac{0{,}008,\pi}{4}\Big).$$
Passo 5
Agora, calcula tudo:
-
, . -
. - Então
$$t=\frac{4,(0{,}635)2}{\pi2,0{,}11}\times5{,}068
\approx7{,}53;s.$$
Em minutos: .
Em minutos:
Resposta
O tempo necessário é cerca de 0,126 min.