Uma seção retangular de um sólido poroso de 0,5 in de espessura é submerso em 100 % de etanol. Os espaços vazios do sólido compõe 50 % do seu volume. O sólido é removido do etanol após absorção completa e colocado em um tanque agitado de água a 80^circ F. Apenas difusão molecular ocorre nos poros, e a difusividade no interior dos poros é cerca de um décimo do seu valor fora do sólido. Qual o tempo necessário para a fração mássica de etanol no centro do sólido cair para 0,008 ? Assumir a concentraçào de etanol na água sempre zero. Dado DA B=1,1 cm^2 / s. Resp: 0,126 min

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala de difusão transiente num “filé” retangular (placa) de material poroso que, depois de encharcar em etanol, é mergulhado em água a 80 °F, onde a concentração de etanol na água fica sempre zero. Queremos achar quanto tempo leva até a fração mássica de etanol no centro da placa cair a 0,008.
Conteúdo: difusão unidimensional em placa finita, solução em série de Fourier, e coeficiente de difusão efetivo dentro dos poros.
O que precisamos:
  • Converter espessura (polegadas → centímetros).
  • Calcular difusividade efetiva Def=DAB/10.
  • Usar a solução transiente para uma placa com fronteiras a concentração fixa nula.
  • Aproximar pela 1ª termo da série para o centro da placa.

Passo 2

Primeiro, ajeitar os dados e unidades:
  • Espessura total da placa = 0,5,in → meia-espessura (distância centro → superfície) L=0,5/2=0,25,in.
  • Em cm: L=0,25;intimes2,54;cmin=0,635;cm.
  • Difusividade no meio poroso: Def=DAB10=1,1;cm^2/s10=0,11;cm^2/s
    - Concentração inicial no sólido C0 (100 % etanol) e na água na superfície Cs=0.
    - Queremos C(0,t)C0=0,008, no centro ( x=0).

Passo 3

Teoria rápida: para difusão unidimensional numa placa de meia-espessura L com C(pm L,t)=0 e C(x,0)=C0, a solução em série é
C(x,t)C0 =4pisumn=0^infty(-1)^n2n+1 exp!(-(2n+1)^2pi^2Drm ef,t4L^2) cos!((2n+1)pi x2L)
No centro x=0, cos(tfrac(2n+1)picdot02L)=1. Pra simplificar, usamos só o primeiro termo ( n=0):
C(0,t)C0approx 4piexp!(-pi^2Drm ef,t4L^2)

Passo 4

Vamos isolar o tempo t impondo dfracC(0,t)C0=0,008:
0,008=4piexp!(-pi^2Drm ef,t4L^2)
$$\exp!\Big(-\frac{\pi^2D_{\rm ef},t}{4L^2}\Big)
=\frac{0{,}008,\pi}{4}$$
$$-\frac{\pi^2D_{\rm ef},t}{4L^2}
=\ln!\Big(\frac{0{,}008,\pi}{4}\Big)$$
$$t=-,\frac{4L2}{\pi2D_{\rm ef}}
\ln!\Big(\frac{0{,}008,\pi}{4}\Big).$$

Passo 5

Agora, calcula tudo:
  • L=0,635;cm, Drm ef=0,11;cm^2/s.
  • ln!(tfrac0,008,pi4) =ln(0,008cdot0,7854)=ln(0,006283)approx -5,068.
  • Então
$$t=\frac{4,(0{,}635)2}{\pi2,0{,}11}\times5{,}068
\approx7{,}53;s.$$
Em minutos: t=4,(0,635)^2pi^2,0,11times5,068 approx7,53;s.

Resposta

O tempo necessário é cerca de 0,126 min.

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