Calcule o tempo de retorno para uma precipitação relativa à primeira quinzena de dezembro de 110 mm , considerando a distribuição normal e a distribuição log-normal 2P (média de
e desvio de 17,9 mm). (R. 33 anos; 35 anos)
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem uma precipitação de 110 mm na primeira quinzena de dezembro e quer saber qual o tempo de retorno disso em anos. Vamos fazer isso pra duas distribuições:
- Distribuição Normal (média μ=70,7 mm e desvio σ=17,9 mm)
- Distribuição Log-Normal 2P (mesmos μ e σ da variável original)
O que precisamos:
- A fórmula do tempo de retorno T = 1/[1–F(x)], onde F(x) é a função de distribuição acumulada.
- Para a Normal, usamos o z = (x–μ)/σ e tabelas (ou função Φ).
- Para a Log-Normal 2P, transformamos X em Y=ln X, achamos os parâmetros μ_Y e σ_Y, calculamos z em Y e fazemos o mesmo T.
Passo 2
Resumindo a teoria da Normal: se X~N(μ,σ²), então
- z = (x–μ)/σ
- F(x) = Φ(z), onde Φ é a CDF da Normal padrão
- Tempo de retorno T = 1/[1–Φ(z)]
Aplicando:
x = 110 mm, μ = 70,7 mm, σ = 17,9 mm
z = (110 – 70{,}7) / 17{,}9 ≃ 2{,}20
Φ(2{,}20) ≃ 0{,}9861 ⇒ 1–Φ(z) ≃ 0{,}0139
T_normal = 1 / 0{,}0139 ≃ 71 anos
x = 110 mm, μ = 70,7 mm, σ = 17,9 mm
z = (110 – 70{,}7) / 17{,}9 ≃ 2{,}20
Φ(2{,}20) ≃ 0{,}9861 ⇒ 1–Φ(z) ≃ 0{,}0139
T_normal = 1 / 0{,}0139 ≃ 71 anos
Passo 3
Agora a Log-Normal 2P: se X é log-normal, Y = ln X ~ N(μ_Y, σ_Y²). Os parâmetros são:
σ_Y = √[ ln(1 + (σ/μ)² ) ]
μ_Y = ln(μ) – ½·σ_Y²
σ_Y = √[ ln(1 + (σ/μ)² ) ]
μ_Y = ln(μ) – ½·σ_Y²
Com μ=70,7 e σ=17,9:
σ_Y = √[ ln(1 + (17{,}9/70{,}7)²) ] ≃ √[ln(1 + 0,0641)] ≃ 0{,}249
μ_Y = ln(70{,}7) – 0{,}5·(0{,}249)² ≃ 4{,}257 – 0{,}031 ≃ 4{,}226
σ_Y = √[ ln(1 + (17{,}9/70{,}7)²) ] ≃ √[ln(1 + 0,0641)] ≃ 0{,}249
μ_Y = ln(70{,}7) – 0{,}5·(0{,}249)² ≃ 4{,}257 – 0{,}031 ≃ 4{,}226
Agora z em Y:
y = ln(110) ≃ 4{,}700
z = (y – μ_Y) / σ_Y = (4{,}700 – 4{,}226) / 0{,}249 ≃ 1{,}90
Φ(1{,}90) ≃ 0{,}9713 ⇒ 1–Φ(z) ≃ 0{,}0287
T_lognormal = 1 / 0{,}0287 ≃ 35 anos
y = ln(110) ≃ 4{,}700
z = (y – μ_Y) / σ_Y = (4{,}700 – 4{,}226) / 0{,}249 ≃ 1{,}90
Φ(1{,}90) ≃ 0{,}9713 ⇒ 1–Φ(z) ≃ 0{,}0287
T_lognormal = 1 / 0{,}0287 ≃ 35 anos
Resposta
Distribuição Normal: T ≃ 71 anos
Distribuição Log-Normal 2P: T ≃ 35 anos
Distribuição Log-Normal 2P: T ≃ 35 anos