(8 pontos) Resolva o PVI para t>0
\left\{\begin{array}{l} t y^{\prime}(t)+2 y(t)=4 t^{2} \\\ y(1)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um problema de valor inicial (PVI) e pede a solução para t>0. As informações dadas são:
  • Equação diferencial: t\,y^{\prime}(t)+2\,y(t)=4t^{2},
válida para t>0.
  • Condição inicial: y(1)=2.
O que se pede: encontrar a função y(t), definida para t>0, que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Como t>0, podemos dividir a equação por t sem problema. Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Ao dividir por t obtemos:
y^{\prime}(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=4t.
Aqui ficou explícito que a equação é do tipo y^{\prime}+p(t)\,y=q(t) com
p(t)=\frac{2}{t},\qquad q(t)=4t.

Passo 3

Explicando a ideia do fator integrante (integrating factor): para uma equação linear de primeira ordem \,y^{\prime}+p(t)y=q(t)\,, existe uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)y(t). Essa \mu(t) é dada por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Vamos calcular \mu(t) usando p(t)=\dfrac{2}{t}:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{t}\,dt\Big)=\exp\!\big(2\ln t\big).
Usando a identidade \exp(2\ln t)=(\exp(\ln t))^{2}=t^{2}, temos
\mu(t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t^{2}. A equação y^{\prime}+\dfrac{2}{t}y=4t multiplicada por t^{2} fica:
t^{2}y^{\prime}(t)+2t\,y(t)=4t^{3}.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^{2}y(t). Ou seja, pela regra do produto:
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=t^{2}y^{\prime}(t)+2t\,y(t).
Portanto a equação pode ser escrita de forma compacta como
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=4t^{3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t. Ao integrar a igualdade \dfrac{d}{dt}(t^{2}y(t))=4t^{3} obtemos:
t^{2}y(t)=\int 4t^{3}\,dt.
Usamos a regra de potência para integrais: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aplicando com n=3:
\int 4t^{3}\,dt=4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4}+C,
onde C é a constante de integração. Logo
t^{2}y(t)=t^{4}+C.

Passo 6

Isolando y(t) dividindo por t^{2} (novamente válido porque t>0), obtemos a solução geral do PVI:
y(t)=t^{2}+C\,t^{-2}.
Aqui C é uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial. Observação: a solução tem duas partes — uma solução particular t^{2} e a solução da homogênea C t^{-2}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=2 para encontrar C. Substituindo t=1 em y(t)=t^{2}+C t^{-2} temos:
y(1)=1^{2}+C\cdot 1^{-2}=1+C.
A condição inicial impõe 1+C=2. Portanto
C=1.

Passo 8

Com C=1 obtemos a solução particular do problema para t>0:
y(t)=t^{2}+t^{-2}.

Resposta

y(t)=t^{2}+t^{-2},\qquad t>0

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