(8 pontos) Resolva o PVI para
Passo 1
O enunciado fornece um problema de valor inicial (PVI) e pede a solução para
. As informações dadas são:
- Equação diferencial:
válida para
.
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
, definida para
, que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Como
, podemos dividir a equação por
sem problema. Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Ao dividir por
obtemos:
Aqui ficou explícito que a equação é do tipo
com
Passo 3
Explicando a ideia do fator integrante (integrating factor): para uma equação linear de primeira ordem
, existe uma função
tal que, ao multiplicar toda a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Essa
é dada por
Vamos calcular
usando
:
Usando a identidade
, temos
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. A equação
multiplicada por
fica:
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Ou seja, pela regra do produto:
Portanto a equação pode ser escrita de forma compacta como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Ao integrar a igualdade
obtemos:
Usamos a regra de potência para integrais:
para
. Aplicando com
:
onde
é a constante de integração. Logo
Passo 6
Isolando
dividindo por
(novamente válido porque
), obtemos a solução geral do PVI:
Aqui
é uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial. Observação: a solução tem duas partes — uma solução particular
e a solução da homogênea
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
em
temos:
A condição inicial impõe
. Portanto
Passo 8
Com
obtemos a solução particular do problema para
: