(a) Calcule a tensão e_{\text {tot }}(t) induzida nessa espira girante.
(b) Qual é a frequência da tensão produzida na espira?
(c) Suponha que um resistor de 10 \Omega seja ligado como carga nos terminais da espira. Calcule a corrente que circulará no resistor.
(d) Calcule o valor e o sentido do conjugado induzido na espira nas condições de (c).
(e) Calcule as potências elétricas instantânea e média geradas pela espira nas condições de (c).
(f) Calcule a potência mecânica sendo consumida pela espira nas condições de (c). De que forma esse valor pode ser comparado com a quantidade de potência elétrica gerada pela espira?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos (o que foi dado no enunciado).
Pedidos:
(a) Calcular a tensão induzida na espira girante, e_{\text{tot}}(t).
(b) Determinar a frequência da tensão produzida.
(c) Com um resistor de 10\\ \Omega ligado, calcular a corrente que circula no resistor.
(d) Calcular o valor e o sentido do conjugado (torque) induzido na espira nas condições de (c).
(e) Calcular as potências elétricas instantânea e média geradas pela espira nas condições de (c).
(f) Calcular a potência mecânica sendo consumida pela espira nas condições de (c) e comparar com a potência elétrica gerada.
Informações do enunciado:
Há uma espira que gira em um campo magnético uniforme. O enunciado não forneceu valores numéricos para intensidade do campo, área da espira, número de voltas nem velocidade angular. Então vou resolver simbolicamente em função das grandezas usuais:
N: número de espiras (voltas).
B: intensidade do campo magnético (módulo, uniforme).
A: área da espira (cada volta).
\omega: velocidade angular constante da rotação (rad/s).
R: resistência da carga; para o item (c) em diante foi dado R=10\\ \Omega.
Escolho a referência angular tal que o ângulo entre a normal à espira e o vetor B seja \theta(t)=\omega t (isso é padrão e não perde generalidade).
Observação importante: como não foram dados valores numéricos de N, B, A e \omega, as respostas serão expressas em função dessas variáveis; onde for necessário use essas expressões substituindo seus valores particulares.
Passo 2
Entender e escrever a expressão do fluxo magnético que atravessa a espira (base física).
Conceito: fluxo magnético \Phi é a integral do campo magnético através da área; para campo uniforme e espira plana com normal fazendo ângulo \theta com B,\Phi(t)=N\,B\,A\cos(\theta(t)).
Aqui usamos \theta(t)=\omega t. Portanto\Phi(t)=N\,B\,A\cos(\omega t).
Explicação didática: cada volta tem área A. O fluxo por volta é B A \cos\theta (produto escalar B\cdot A), e como há N voltas multiplica-se por N.
Passo 3
Aplicar a Lei de Faraday para obter a força eletromotriz induzida e_{\text{tot}}(t).
Lei de Faraday (forma integral/instantânea para uma espira): a tensão induzida é o negativo da derivada do fluxo magnético:e_{\text{tot}}(t)=-\frac{d\Phi(t)}{dt}.
Substituindo \Phi(t)=N B A \cos(\omega t):\frac{d\Phi}{dt} = -N B A \omega \sin(\omega t).Logoe_{\text{tot}}(t)=-\bigl(-N B A \omega \sin(\omega t)\bigr)=N B A \omega \sin(\omega t).
Interpretação física e sinal: o sinal já incorpora a regra de Lenz (a tensão induzida aparece de modo a se opor à variação do fluxo). Aqui a expressão positiva significa que a tensão tem forma senoidal com amplitude N B A \omega.
Passo 4
Determinar a frequência da tensão produzida na espira.
A tensão é uma função de \sin(\omega t). A frequência angular é \omega (rad/s). A frequência comum f (Hz) éf=\frac{\omega}{2\pi}.
Explicação: uma função \sin(\omega t) completa um ciclo quando \omega t varia de 0 a 2\pi; isso leva tempo T=2\pi/\omega, e f=1/T=\omega/(2\pi).
Passo 5
Calcular a corrente quando a espira está ligada a um resistor R (a partir do item (c) usar R=10\\ \Omega).
Circuito simples: tensão induzida e_{\text{tot}}(t) aplicada ao resistor R (supondo resistência da espira desprezível ou já incluída em R).
Pela Lei de Ohm instantânea:i(t)=\frac{e_{\text{tot}}(t)}{R}.
Substituindo e_{\text{tot}}(t)=N B A \omega \sin(\omega t) e R=10\\ \Omega:i(t)=\frac{N B A \omega}{R}\sin(\omega t)=\frac{N B A \omega}{10}\sin(\omega t).
Observação didática: esta é a corrente instantânea; sua forma é senoidal e está em fase com a tensão induzida (a resistência pura não causa defasagem).
Passo 6
Determinar o conjugado (torque) eletromagnético induzido na espira nas condições de (c).
Conceito: a espira com corrente I tem momento magnético (dipolo magnético) \boldsymbol{\mu} de módulo \mu=N I A apontando segundo a normal da espira. O torque magnético sobre o dipolo em campo B tem módulo\tau=\mu B\sin\theta = N I A B \sin(\theta),onde \theta é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} e \mathbf{B}. Aqui \theta=\omega t.
Substituindo I=i(t)=\dfrac{N B A \omega}{R}\sin(\omega t):\tau(t)=N\left(\frac{N B A \omega}{R}\sin(\omega t)\right)A B \sin(\omega t) =\frac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega}{R}\,\sin^{2}(\omega t).
Sentido do conjugado: pela regra de Lenz o torque eletromagnético tende a se opor à rotação que gerou a corrente. Se tomarmos como positivo o sentido da rotação (direção do aumento de \theta), o torque eletromagnético sobre a espira é de sentido contrário. Portanto, em termos de sinal indicando oposição à rotação:\tau_{\text{em}}(t)=-\frac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega}{R}\,\sin^{2}(\omega t).(o módulo é o valor positivo escrito anteriormente).
Para R=10\\ \Omega pode-se substituir R diretamente na expressão.
Passo 7
Calcular as potências elétrica instantânea e média geradas pela espira nas condições de (c).
Potência elétrica instantânea entregue ao resistor (potência instantânea gerada):p_{\text{el}}(t)=e_{\text{tot}}(t)\,i(t).
Substituindo e_{\text{tot}}(t)=N B A \omega \sin(\omega t) e i(t)=\dfrac{N B A \omega}{R}\sin(\omega t):p_{\text{el}}(t)=\left(N B A \omega \sin(\omega t)\right)\left(\frac{N B A \omega}{R}\sin(\omega t)\right) =\frac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega^{2}}{R}\,\sin^{2}(\omega t).
Potência média elétrica (média sobre um ciclo): como a média de \sin^{2}(\omega t) é 1/2,P_{\text{el,med}}=\overline{p_{\text{el}}(t)}=\frac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega^{2}}{R}\cdot\frac{1}{2} =\frac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega^{2}}{2R}.
Para R=10\\ \Omega, substituir R nas fórmulas acima para obter os valores em função de N,B,A,\omega.
Passo 8
Calcular a potência mecânica sendo consumida pela espira nas condições de (c) e comparar com a potência elétrica.
Potência mecânica instantânea fornecida pelo agente que faz a espira girar é o produto do torque externo (que mantém a rotação) pelo valor da velocidade angular \omega. O torque eletromagnético \tau_{\text{em}}(t) tende a travar a rotação; o trabalho que o agente externo precisa entregar por unidade de tempo (potência mecânica consumida) ép_{\text{mec}}(t)=\tau_{\text{ext}}(t)\,\omega,com \tau_{\text{ext}}(t)=-\tau_{\text{em}}(t) (o torque externo é igual e oposto ao torque eletromagnético quando a rotação é mantida constante).
Observação importante (prática e conceitual): comparando com p_{\text{el}}(t) do Passo 7, nota-se quep_{\text{mec}}(t)=p_{\text{el}}(t)\quad\text{instantaneamente},ou seja, a potência mecânica fornecida pelo agente que mantém a rotação é instantaneamente igual à potência elétrica entregue à carga (quando desprezamos perdas mecânicas e resistências internas extras). Consequentemente, as potências médias também são iguais:P_{\text{mec,med}}=P_{\text{el,med}}=\frac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega^{2}}{2R}.
Interpretação física: a energia mecânica gasta pela fonte que gira a espira é convertida em energia elétrica dissipada no resistor. A igualdade é resultado da conservação de energia (sem perdas extras).
Resposta
(a) e_{\text{tot}}(t)=N B A \omega \sin(\omega t)
(b) f=\dfrac{\omega}{2\pi}
(c) i(t)=\dfrac{N B A \omega}{R}\sin(\omega t)=\dfrac{N B A \omega}{10}\sin(\omega t)
(d) \tau_{\text{em}}(t)=-\dfrac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega}{R}\,\sin^{2}(\omega t) (o sinal negativo indica que o torque eletromagnético se opõe à rotação; o módulo é \dfrac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega}{R}\sin^{2}(\omega t))
(f) p_{\text{mec}}(t)=\dfrac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega^{2}}{R}\,\sin^{2}(\omega t) \ \displaystyle P_{\text{mec,med}}=\frac{N^{2}B^{2}A^{2}\omega^{2}}{2R} \
Comparação: a potência mecânica consumida é igual à potência elétrica gerada (instantânea e média), assumindo ausência de perdas adicionais.