A compatibilização de impedância entre uma carga R_{L}=\mathrm{X} \Omega e uma linha de microfita com R_{0}=\mathrm{Y} \Omega ou R_{L}=\mathrm{Y} \Omega e R_{0}=\mathrm{X} \Omega pode ser feita em f=300 MHz através da inserção serial de uma linha de microfita adicional com um mesmo valor de R_{Q}.
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado dá duas configurações possíveis e propõe uma solução única:
Configuração A: R_{L}=X\\ \Omega e R_{0}=Y\\ \Omega.
Configuração B: R_{L}=Y\\ \Omega e R_{0}=X\\ \Omega.
O enunciado afirma que, em f=300 MHz, é possível compatibilizar (casar impedâncias) ambas as configurações através da inserção, em série, de uma linha de microfita adicional com um mesmo valor de impedância característica R_{Q}.
A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Vamos lembrar o que faz uma seção de linha de transmissão inserida em série para casar impedâncias.
Uma seção de linha de característica R_{Q} e comprimento l terminada em R_{L} apresenta, vista da sua extremidade de entrada, a impedância
\beta é a constante de fase da linha, \beta = \dfrac{2\pi f}{v_{p}};
v_{p} é a velocidade de propagação na microfita (depende da permissividade efetiva do substrato);
j é a unidade imaginária;
\tan(\beta l) captura o efeito do comprimento elétrico da seção.
Para eliminar reflexão na junção com a linha principal de característica R_{0} precisamos que, naquela frequência, a impedância vista seja igual a R_{0}, ou seja
Z_{\text{in}} = R_{0}.
Essa é a condição de casamento na frequência considerada.
Passo 3
Agora vamos analisar a equação R_{0}=R_{Q}\dfrac{R_{L} + j R_{Q}\tan(\beta l)}{R_{Q} + j R_{L}\tan(\beta l)}. Existem duas situações relevantes para obter Z_{\text{in}} real igual a R_{0}:
Comprimentos para os quais \tan(\beta l) é finito. Separando parte real e imaginária dessa igualdade (assumindo \tan(\beta l) finito) leva a uma consequência imediata: para satisfazer as partes real e imaginária simultaneamente, normalmente só vale se R_{0}=R_{L} (caso trivial em que não há desajuste). Ou seja, sem escolher um comprimento especial não se consegue, em geral, transformar arbitrariamente R_{L} em R_{0}.
Comprimentos cujo \tan(\beta l) é infinito. Isso ocorre quando
\beta l = \frac{\pi}{2} + n\pi\qquad(n\in\mathbb{Z}),
ou seja, quando a seção tem comprimento igual a um quarto de comprimento de onda elétrico (l=\lambda/4) ou a qualquer comprimento ímpar de \lambda/4. Nesse caso o limite da fórmula anterior dá a famosa relação do transformador de quarto de onda:
Ou seja, para casar R_{L} com R_{0} usando uma seção de comprimento l=\lambda/4 basta escolher a impedância característica da seção igual à raiz geométrica entre as impedâncias das duas linhas. Essa é a solução padrão e funciona exatamente na frequência para a qual a seção tem comprimento elétrico \lambda/4.
Passo 5
Observe agora a simetria: se na outra configuração trocarmos R_{L} e R_{0} (ou seja, R_{L}=Y e R_{0}=X), a fórmula para R_{Q} fica
R_{Q} = \sqrt{R_{0}R_{L}} = \sqrt{X\cdot Y},
que é a mesma expressão numérica que no caso inicial (pois a multiplicação é comutativa). Além disso o comprimento necessário continua sendo l=\lambda/4 na mesma frequência f (o comprimento \lambda depende de f e do substrato, não de R_{L} ou R_{0}). Então:
um transformador de quarto de onda com R_{Q}=\sqrt{XY} e l=\lambda/4 em f=300 MHz casa tanto R_{L}=X visto por R_{0}=Y quanto R_{L}=Y visto por R_{0}=X;
a solução é feita exatamente naquela frequência (é uma solução em banda estreita em torno de 300 MHz, porque \lambda e a condição \beta l=\pi/2 são sensíveis à frequência).
Passo 6
Comentário prático e incentivo: na prática, para projetar a microfita adicional é preciso:
calcular \lambda usando a velocidade de fase v_{p}=c/\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}} e então l=\lambda/4 para f=300 MHz;
projetar a largura da microfita que produz R_{Q}=\sqrt{XY} no substrato usado (isso é tabelado ou calculado com fórmulas de microstrip).
Isso é um projeto típico e totalmente viável — só que é sensível à frequência (logo a correspondência exata vale em 300 MHz e perde exatidão fora da banda).