A compatibilização de impedância entre uma carga
e uma linha de microfita
pode ser feita em
através da inserção serial de uma linha de microfita adicional com
e comprimento em torno de
para “zerar” a parte imaginária e depois uma segunda linha adicional de
.
- Verdadeiro
- Falso
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
- Dado: a carga é
. - Dado: a linha principal tem impedância característica
. - Proposta no enunciado: inserir em série uma seção de microfita com impedância característica
e comprimento em torno de para “zerar” a parte imaginária vista pela linha principal; depois inserir uma segunda linha adicional de (um transformador quarte-onda) para completar a compatibilização. - Pergunta: a afirmação é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Explicação das ferramentas que usaremos (fórmulas e o que cada variável significa):
- Quando temos uma seção de linha de transmissão de impedância característica
e comprimento elétrico terminada em uma carga , a impedância de entrada vista na extremidade oposta da seção é dada por
Aqui:
-
é a impedância vista olhando para a seção de linha. -
é a impedância característica da seção inserida ( no enunciado). -
é a carga terminal ( ). -
é a extensão elétrica da seção (radianos), com e a comprimento de onda guiado na microfita. - Objetivo do primeiro passo proposto: escolher
tal que a parte imaginária de seja nula (ou seja, tornar puramente real). - Depois, se obtivermos um
puramente real, um transformador com impedância característica faz
portanto para casar com
é necessário
Explico isto para você: a
inverte impedâncias reais segundo a relação acima, então escolhendo
corretamente se consegue casar dois resistores reais.
Passo 3
Aplicando a fórmula da seção em série para achar as condições que tornam
puramente real.
Escrevendo
com
,
, e
. Colocando
para simplificar a álgebra, a expressão
pode ser manipulada (separando real e imaginário) e a condição
leva à equação escalar
Vou resolver essa equação passo a passo (as contas são mecânicas mas é importante ver como surge).
Expansão e reorganização:
igualando a
obtemos
Passando tudo para um lado e dividindo por
(para simplificar os números):
Multiplicando por
e reorganizando:
Agora a fórmula quadrática:
Numericamente:
Passo 4
Interpretação das soluções para
e escolha do ângulo prático:
- Para
temos . - A outra solução dá um ângulo de aproximadamente
(podemos tomar o ângulo positivo equivalente ), que corresponde a uma seção bem mais longa ( em espaço livre). Em geral, para projetos práticos escolhe-se a solução mais curta (menor comprimento físico possível), portanto usamos .
Agora calculamos a impedância real resultante
correspondente a
. Usando as fórmulas (ou substituindo
diretamente na expressão de
) obtém-se numericamente
(Isto pode ser verificado substituindo os valores numéricos no passo algébrico do Passo 3; eu já calculei as contas e o resultado aproximado é
.)
Resumo do que ocorreu: ao colocar uma seção série de
com comprimento elétrico correspondente a
, a impedância vista pela linha principal torna‑se puramente resistiva, com valor em torno de
.
Passo 5
Verificação da plausibilidade do comprimento físico
citado no enunciado:
- A extensão elétrica que usamos é
. O comprimento físico é
- Em espaço livre
, o comprimento seria
- Microfitas têm velocidade de propagação reduzida pelo efeito dielétrico. Se a microfita tem uma velocidade de fase típica
(isto corresponde a uma permissividade efetiva , valor perfeitamente razoável para substratos comuns), então e
Portanto o comprimento físico de aproximadamente
é plausível para uma microfita com permissividade efetiva típica. Conclusão: o valor numérico dado no enunciado é compatível com a solução curta (
) e com parâmetros típicos de microfita.
Passo 6
Agora a segunda etapa: o transformador
.
- Depois da seção série obtemos
(resistivo). - Para casar esse
com a linha usando um transformador de comprimento devemos escolher a impedância característica do transformador igual a
- Um trecho de
com transforma a carga resistiva em , porque
- Em microfita é possível projetar uma linha com essa impedância característica (talvez estreita, dependendo do substrato), então a solução é realizável em princípio.
Passo 7
Interpretação prática e conclusão lógica:
- A primeira seção em série com
e comprimento elétrico correspondente a (comprimento físico ≈ para uma microfita com ) transforma em um resistor puro aproximadamente . - Em seguida, um trecho
com impedância casa esse resistor de com a linha de . - Portanto o procedimento descrito no enunciado — série de uma linha
de comprimento adequado para zerar a parte imaginária e depois usar um — é correto e consistente numericamente. A única observação prática é que o comprimento físico da primeira seção depende da velocidade de propagação na microfita (i.e., da permissividade efetiva do substrato); com valores típicos de o valor indicado é plausível.
Resposta
Verdadeiro