A compatibilização de impedância entre uma carga Z_{L}=150+\mathrm{j} 150 \Omega e uma linha de microfita \operatorname{com} R_{0}=50 \Omega pode ser feita em f=150 \mathrm{MHz} através da inserção serial de uma linha de microfita adicional com R_{A}=75 \Omega e comprimento em torno de 5,9 \mathrm{~cm} para “zerar” a parte imaginária e depois uma segunda linha adicional de \lambda / 4.
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
  • Dado: a carga é Z_{L}=150+\mathrm{j}\,150\\ \Omega.
  • Dado: a linha principal tem impedância característica R_{0}=50\\ \Omega.
  • Proposta no enunciado: inserir em série uma seção de microfita com impedância característica R_{A}=75\\ \Omega e comprimento em torno de 5{,}9\\ \mathrm{cm} para “zerar” a parte imaginária vista pela linha principal; depois inserir uma segunda linha adicional de \lambda/4 (um transformador quarte-onda) para completar a compatibilização.
  • Pergunta: a afirmação é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Explicação das ferramentas que usaremos (fórmulas e o que cada variável significa):
  • Quando temos uma seção de linha de transmissão de impedância característica Z_A e comprimento elétrico \theta=\beta l terminada em uma carga Z_L, a impedância de entrada vista na extremidade oposta da seção é dada por
Z_{\mathrm{in}}=Z_A\frac{Z_L+\mathrm{j}Z_A\tan\theta}{Z_A+\mathrm{j}Z_L\tan\theta}.
Aqui:
  • Z_{\mathrm{in}} é a impedância vista olhando para a seção de linha.
  • Z_A é a impedância característica da seção inserida ( 75\\ \Omega no enunciado).
  • Z_L é a carga terminal ( 150+\mathrm{j}150\\ \Omega).
  • \theta=\beta l é a extensão elétrica da seção (radianos), com \beta=2\pi/\lambda_g e \lambda_g a comprimento de onda guiado na microfita.
  • Objetivo do primeiro passo proposto: escolher l tal que a parte imaginária de Z_{\mathrm{in}} seja nula (ou seja, tornar Z_{\mathrm{in}} puramente real).
  • Depois, se obtivermos um R_{\mathrm{in}}=\Re\{Z_{\mathrm{in}}\} puramente real, um transformador \lambda/4 com impedância característica Z_t faz
Z_{\mathrm{in,\,final}}=\frac{Z_t^2}{R_{\mathrm{in}}},
portanto para casar com R_0 é necessário
Z_t=\sqrt{R_0\,R_{\mathrm{in}}}.
Explico isto para você: a \lambda/4 inverte impedâncias reais segundo a relação acima, então escolhendo Z_t corretamente se consegue casar dois resistores reais.

Passo 3

Aplicando a fórmula da seção em série para achar as condições que tornam Z_{\mathrm{in}} puramente real.
Escrevendo Z_L=R+\mathrm{j}X com R=150, X=150, e Z_A=75. Colocando \tan\theta=t para simplificar a álgebra, a expressão Z_{\mathrm{in}}=Z_A\frac{Z_L+\mathrm{j}Z_A t}{Z_A+\mathrm{j}Z_L t} pode ser manipulada (separando real e imaginário) e a condição \Im\{Z_{\mathrm{in}}\}=0 leva à equação escalar
(150+75t)(75-150t)=150(150t).
Vou resolver essa equação passo a passo (as contas são mecânicas mas é importante ver como surge).
Expansão e reorganização:
(150+75t)(75-150t)=11250-16875t-11250t^2,
igualando a 150\cdot150t=22500t obtemos
11250-16875t-11250t^2=22500t.
Passando tudo para um lado e dividindo por 1125 (para simplificar os números):
10-35t-10t^2=0.
Multiplicando por -1 e reorganizando:
10t^2+35t-10=0.
Agora a fórmula quadrática:
t=\frac{-35\pm\sqrt{35^2-4\cdot10\cdot(-10)}}{2\cdot10} =\frac{-35\pm\sqrt{1625}}{20}.
Numericamente:
t_1\approx0{,}26555,\qquad t_2\approx-3{,}76555.

Passo 4

Interpretação das soluções para \tan\theta e escolha do ângulo prático:
  • Para t_1\approx0{,}26555 temos \theta_1=\arctan(0{,}26555)\approx0{,}2598\\ \text{rad}\approx14{,}88^\circ.
  • A outra solução dá um ângulo de aproximadamente -75{,}1^\circ (podemos tomar o ângulo positivo equivalente 104{,}9^\circ), que corresponde a uma seção bem mais longa ( \sim58{,}3\\ \mathrm{cm} em espaço livre). Em geral, para projetos práticos escolhe-se a solução mais curta (menor comprimento físico possível), portanto usamos \theta_1.
Agora calculamos a impedância real resultante R_{\mathrm{in}}=\Re\{Z_{\mathrm{in}}\} correspondente a t_1. Usando as fórmulas (ou substituindo t_1 diretamente na expressão de Z_{\mathrm{in}}) obtém-se numericamente
R_{\mathrm{in}}\approx320\\ \Omega.
(Isto pode ser verificado substituindo os valores numéricos no passo algébrico do Passo 3; eu já calculei as contas e o resultado aproximado é 320\\ \Omega.)
Resumo do que ocorreu: ao colocar uma seção série de Z_A=75\\ \Omega com comprimento elétrico correspondente a \tan\theta\approx0{,}26555, a impedância vista pela linha principal torna‑se puramente resistiva, com valor em torno de 320\\ \Omega.

Passo 5

Verificação da plausibilidade do comprimento físico 5{,}9\\ \mathrm{cm} citado no enunciado:
  • A extensão elétrica que usamos é \theta_1\approx0{,}2598\\ \mathrm{rad}. O comprimento físico é
l=\frac{\theta_1}{2\pi}\,\lambda_g.
  • Em espaço livre \lambda_0=c/f=3\cdot10^8/150\cdot10^6=2{,}0\\ \mathrm{m}, o comprimento seria
l_{\text{vácuo}}=\frac{0{,}2598}{2\pi}\cdot2{,}0\\ \mathrm{m}\approx8{,}27\\ \mathrm{cm}.á
  • Microfitas têm velocidade de propagação reduzida pelo efeito dielétrico. Se a microfita tem uma velocidade de fase típica v_p\approx0{,}71\,c (isto corresponde a uma permissividade efetiva \varepsilon_{\text{eff}}\approx1{,}97, valor perfeitamente razoável para substratos comuns), então \lambda_g=v_p/f\approx1{,}425\\ \mathrm{m} e
l=\frac{0{,}2598}{2\pi}\cdot1{,}425\\ \mathrm{m}\approx0{,}059\\ \mathrm{m}=5{,}9\\ \mathrm{cm}.
Portanto o comprimento físico de aproximadamente 5{,}9\\ \mathrm{cm} é plausível para uma microfita com permissividade efetiva típica. Conclusão: o valor numérico dado no enunciado é compatível com a solução curta ( \theta_1) e com parâmetros típicos de microfita.

Passo 6

Agora a segunda etapa: o transformador \lambda/4.
  • Depois da seção série obtemos R_{\mathrm{in}}\approx320\\ \Omega (resistivo).
  • Para casar esse 320\\ \Omega com a linha R_0=50\\ \Omega usando um transformador de comprimento \lambda/4 devemos escolher a impedância característica do transformador igual a
Z_t=\sqrt{R_0\,R_{\mathrm{in}}}=\sqrt{50\cdot320}\approx126{,}49\\ \Omega.
  • Um trecho de \lambda/4 com Z_t\approx126{,}5\\ \Omega transforma a carga resistiva 320\\ \Omega em R_0=50\\ \Omega, porque
Z_{\mathrm{in,\,final}}=\frac{Z_t^2}{R_{\mathrm{in}}}=\frac{(126{,}49)^2}{320}\approx50\\ \Omega.
  • Em microfita é possível projetar uma linha com essa impedância característica (talvez estreita, dependendo do substrato), então a solução é realizável em princípio.

Passo 7

Interpretação prática e conclusão lógica:
  • A primeira seção em série com Z_A=75\\ \Omega e comprimento elétrico correspondente a \tan\theta\approx0{,}26555 (comprimento físico ≈ 5{,}9\\ \mathrm{cm} para uma microfita com v_p\approx0{,}71c) transforma Z_L=150+\mathrm{j}150\\ \Omega em um resistor puro aproximadamente 320\\ \Omega.
  • Em seguida, um trecho \lambda/4 com impedância Z_t=\sqrt{50\cdot320}\approx126{,}5\\ \Omega casa esse resistor de 320\\ \Omega com a linha de 50\\ \Omega.
  • Portanto o procedimento descrito no enunciado — série de uma linha 75\\ \Omega de comprimento adequado para zerar a parte imaginária e depois usar um \lambda/4 — é correto e consistente numericamente. A única observação prática é que o comprimento físico da primeira seção depende da velocidade de propagação na microfita (i.e., da permissividade efetiva do substrato); com valores típicos de \varepsilon_{\text{eff}} o valor indicado 5{,}9\\ \mathrm{cm} é plausível.

Resposta

Verdadeiro

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