. Calcule o tensor de inércia de um cubo homogêneo de densidade
, massa
e de lados de comprimento
, considerando um sistema de coordenadas com a origem em uma extremidade do cubo e com eixos coordenados ao longo de três vertices adjacentes.
(resposta:
)
(resposta:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o tensor de inércia de um cubo homogêneo. Dados fornecidos e o que precisamos encontrar:
- O corpo é um cubo homogêneo com densidade
. - A massa total é
. - O comprimento do lado é
. - O sistema de coordenadas tem a origem em uma extremidade (um vértice) do cubo e os eixos
seguem as arestas que saem desse vértice (logo o domínio do cubo é ). - O que o enunciado pede: calcular todos os componentes do tensor de inércia
nesse sistema de coordenadas (ou seja, e os para ).
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar (a definição do tensor de inércia em coordenadas cartesianas para um corpo contínuo homogêneo):
Explicando cada símbolo, devagar e sem pressa:
-
é a densidade volumétrica (massa por unidade de volume) do cubo, constante porque o corpo é homogêneo. -
é o volume do cubo. -
é o quadrado da distância do ponto à origem. -
é o delta de Kronecker: se e se . - Para
essa fórmula dá o momento de inércia em torno do eixo correspondente; para dá os produtos mistos de inércia (com sinal negativo vindo da definição).
Observação prática: para(eixo ) o integrando vira ; para (por exemplo ) o integrando vira .
Passo 3
Determinar domínio de integração e relação entre
e
.
- Como a origem está numa das extremidades e os eixos seguem as arestas, o domínio do cubo é
- A massa total
do cubo é
Logo podemos substituir
sempre que for conveniente para expressar o resultado em termos de
e
.
Passo 4
Calcular
passo a passo (momento de inércia em torno do eixo
).
Pela definição, para temos
Pela definição, para
Agora escrevemos o integral sobre o cubo:
Note que o integrando não depende de
, então a integração em
dá um fator
. Podemos separar as integrais porque
depende só de
e
só de
:
Calcule cada integral básica (faça isso devagar na prova):
Substituindo:
Passo 5
Expressar
em termos de
e
.
Usando obtemos
Usando
Passo 6
Por simetria geométrica do cubo (os eixos
escolhidos são equivalentes porque saem do mesmo vértice e correspondem a arestas iguais), os momentos ao redor de cada eixo são iguais. Portanto
Passo 7
Calcular um produto misto, por exemplo
(os outros produtos mistos terão o mesmo valor por simetria).
Para a definição dá
Para
Como o integrando é produto separável, podemos separar as integrais:
Calcule as integrais simples:
Multiplicando:
Logo
Passo 8
Expressar
em termos de
e
e estender por simetria aos outros elementos fora da diagonal.
Substituindo obtemos
Substituindo
Pela simetria do cubo e a simetria do tensor de inércia (
), os outros produtos mistos são iguais a esse:
Passo 9
Resumo final (antes da resposta final): coletando tudo, a matriz do tensor de inércia
no sistema de coordenadas com origem no vértice e eixos ao longo das arestas é uma matriz simétrica com entradas diagonais
e todas as entradas fora da diagonal iguais a
. Agora deixo a resposta final formatada exatamente como você pediu.