. Calcule o tensor de inércia de um cubo homogêneo de densidade \rho, massa M e de lados de comprimento b, considerando um sistema de coordenadas com a origem em uma extremidade do cubo e com eixos coordenados ao longo de três vertices adjacentes.
(resposta: I_{11}=I_{22}=I_{33}=2 M b^{2} / 3, I_{12}=I_{21}=I_{13}=I_{31}=I_{23}=I_{32}=-M b^{2} / 4 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tensor de inércia de um cubo homogêneo. Dados fornecidos e o que precisamos encontrar:
  • O corpo é um cubo homogêneo com densidade \rho.
  • A massa total é M.
  • O comprimento do lado é b.
  • O sistema de coordenadas tem a origem em uma extremidade (um vértice) do cubo e os eixos x,y,z seguem as arestas que saem desse vértice (logo o domínio do cubo é 0\le x\le b,\;0\le y\le b,\;0\le z\le b).
  • O que o enunciado pede: calcular todos os componentes do tensor de inércia I_{ij} nesse sistema de coordenadas (ou seja, I_{11},I_{22},I_{33} e os I_{ij} para i\ne j).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar (a definição do tensor de inércia em coordenadas cartesianas para um corpo contínuo homogêneo):
I_{ij}=\int_V \rho\,(r^{2}\delta_{ij}-x_{i}x_{j})\,dV
Explicando cada símbolo, devagar e sem pressa:
  • \rho é a densidade volumétrica (massa por unidade de volume) do cubo, constante porque o corpo é homogêneo.
  • V é o volume do cubo.
  • r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} é o quadrado da distância do ponto (x,y,z) à origem.
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker: \delta_{ij}=1 se i=j e \delta_{ij}=0 se i\ne j.
  • Para i=j essa fórmula dá o momento de inércia em torno do eixo correspondente; para i\ne j dá os produtos mistos de inércia (com sinal negativo vindo da definição).
    Observação prática: para i=j=1 (eixo x) o integrando vira \rho(y^{2}+z^{2}); para i\ne j (por exemplo I_{12}) o integrando vira -\rho\,xy.

Passo 3

Determinar domínio de integração e relação entre M e \rho.
  • Como a origem está numa das extremidades e os eixos seguem as arestas, o domínio do cubo é
0\le x\le b,\quad 0\le y\le b,\quad 0\le z\le b.
  • A massa total M do cubo é
M=\rho \cdot (\text{volume})=\rho\,b^{3}.
Logo podemos substituir \rho=\dfrac{M}{b^{3}} sempre que for conveniente para expressar o resultado em termos de M e b.

Passo 4

Calcular I_{11} passo a passo (momento de inércia em torno do eixo x).
Pela definição, para i=j=1 temos
I_{11}=\int_V \rho\,(r^{2}\delta_{11}-x^{2})\,dV=\int_V \rho\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x^{2})\,dV=\int_V \rho\,(y^{2}+z^{2})\,dV.
Agora escrevemos o integral sobre o cubo:
I_{11}=\rho\int_{0}^{b}\int_{0}^{b}\int_{0}^{b} (y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz.
Note que o integrando não depende de x, então a integração em x dá um fator b. Podemos separar as integrais porque y^{2} depende só de y e z^{2} só de z:
I_{11}=\rho\left[\left(\int_{0}^{b} y^{2}dy\right)\left(\int_{0}^{b} dz\right)\left(\int_{0}^{b} dx\right)+\left(\int_{0}^{b} z^{2}dz\right)\left(\int_{0}^{b} dy\right)\left(\int_{0}^{b} dx\right)\right].
Calcule cada integral básica (faça isso devagar na prova):
\int_{0}^{b} y^{2}dy=\frac{b^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{b} z^{2}dz=\frac{b^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{b} dx=\int_{0}^{b} dy=\int_{0}^{b} dz=b.
Substituindo:
I_{11}=\rho\left[\frac{b^{3}}{3}\cdot b\cdot b + \frac{b^{3}}{3}\cdot b\cdot b\right]=\rho\left[\frac{b^{5}}{3}+\frac{b^{5}}{3}\right]=\frac{2\rho b^{5}}{3}.

Passo 5

Expressar I_{11} em termos de M e b.
Usando \rho=\dfrac{M}{b^{3}} obtemos
I_{11}=\frac{2\rho b^{5}}{3}=\frac{2}{3}\frac{M}{b^{3}}b^{5}=\frac{2Mb^{2}}{3}.

Passo 6

Por simetria geométrica do cubo (os eixos x,y,z escolhidos são equivalentes porque saem do mesmo vértice e correspondem a arestas iguais), os momentos ao redor de cada eixo são iguais. Portanto
I_{22}=I_{33}=I_{11}=\frac{2Mb^{2}}{3}.

Passo 7

Calcular um produto misto, por exemplo I_{12} (os outros produtos mistos terão o mesmo valor por simetria).
Para i\ne j a definição dá
I_{12}=\int_V \rho\,(r^{2}\delta_{12}-xy)\,dV=\int_V (-\rho\,xy)\,dV=-\rho\int_{0}^{b}\int_{0}^{b}\int_{0}^{b} x y\,dx\,dy\,dz.
Como o integrando é produto separável, podemos separar as integrais:
\int_{0}^{b}\int_{0}^{b}\int_{0}^{b} x y\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{0}^{b} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{b} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{b} dz\right).
Calcule as integrais simples:
\int_{0}^{b} x\,dx=\frac{b^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{b} y\,dy=\frac{b^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{b} dz=b.
Multiplicando:
\int_{V} x y\,dV = \frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{b^{2}}{2}\cdot b = \frac{b^{5}}{4}.
Logo
I_{12}=-\rho\cdot\frac{b^{5}}{4}=-\frac{\rho b^{5}}{4}.

Passo 8

Expressar I_{12} em termos de M e b e estender por simetria aos outros elementos fora da diagonal.
Substituindo \rho=\dfrac{M}{b^{3}} obtemos
I_{12}=-\frac{\rho b^{5}}{4}=-\frac{M b^{2}}{4}.
Pela simetria do cubo e a simetria do tensor de inércia ( I_{ij}=I_{ji}), os outros produtos mistos são iguais a esse:
I_{13}=I_{31}=I_{23}=I_{32}=-\frac{M b^{2}}{4}.

Passo 9

Resumo final (antes da resposta final): coletando tudo, a matriz do tensor de inércia I no sistema de coordenadas com origem no vértice e eixos ao longo das arestas é uma matriz simétrica com entradas diagonais \dfrac{2Mb^{2}}{3} e todas as entradas fora da diagonal iguais a -\dfrac{Mb^{2}}{4}. Agora deixo a resposta final formatada exatamente como você pediu.

Resposta

I_{11}=I_{22}=I_{33}=\dfrac{2 M b^{2}}{3}\n
I_{12}=I_{21}=I_{13}=I_{31}=I_{23}=I_{32}=-\dfrac{M b^{2}}{4}

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