. Considere um pêndulo duplo (ângulo de abertura
), que é constituido de uma barra fina de massa desprezivel e de comprimento
, articulada na extremidade superior, com uma massa
na extremidade inferior e outra massa
colocada no centro da barra (distância
das extremidades). Escolha um sistema de coordenadas fixo no pêndulo com origem no ponto de articulação, eixo
ao longo do pêndulo e eixo
perpendicular a esse e no plano de oscilação do pêndulo.
a). Mostre que o tensor de inércia é diagonal e dado por
e demais elementos nulos.
b). Mostre que o momento ângular nesse caso só tem componente
e é dado por
c). Mostre que o torque devido a gravidade é dado por:
d). Escreva a equação de movimento do pêndulo duplo e mostre que a frequência para pequenas oscilações
é dada por
a). Mostre que o tensor de inércia é diagonal e dado por
b). Mostre que o momento ângular nesse caso só tem componente
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo constituído por uma barra fina de massa desprezível e comprimento
, articulada na extremidade superior, com duas massas puntuais:
na extremidade inferior (distância
da articulação) e
colocada no centro da barra (distância
da articulação). Foi escolhido um sistema de coordenadas fixo ao pêndulo com origem na articulação, eixo
ao longo da barra (sentido do pêndulo), eixo
perpendicular a
no plano de oscilação, e
perpendicular ao plano (sentido dado pela regra da mão direita). O ângulo de deslocamento é
e a aceleração da gravidade tem módulo
, apontando vertical para baixo.
Perguntas:
a) Mostrar que o tensor de inércia é diagonal e obter e que os demais elementos são nulos.
b) Mostrar que o momento angular tem apenas componente e obter
.
c) Calcular o torque devido à gravidade .
d) Escrever a equação de movimento e obter a frequência para pequenas oscilações (caso
).
a) Mostrar que o tensor de inércia é diagonal e obter
b) Mostrar que o momento angular tem apenas componente
c) Calcular o torque devido à gravidade
d) Escrever a equação de movimento e obter a frequência para pequenas oscilações
Dados importantes extraídos do enunciado:
(posição de
no referencial do pêndulo),
(posição de
). A barra é massa desprezível, então apenas
e
contribuem para a inércia.
Passo 2
Fórmula útil para tensores de inércia de um conjunto de massas puntuais: para índices
,
onde
e
é o delta de Kronecker (
se
e 0 caso contrário). Essa fórmula surge do fato que o momento de inércia em torno de um eixo é a soma das massas vezes a distância ao quadrado desse eixo, e os produtos de inércia são dados pelos produtos das coordenadas.
Aplicando ao nosso caso, as coordenadas das massas no referencial do pêndulo são:
Ou seja, para cada massa
e
são zero. Vamos calcular componente a componente.
Passo 3
Cálculo direto das componentes diagonais usando a forma equivalente:
Como para ambas as massas
, obtemos:
Para
e
(ambas dependem de
):
Produtos de inércia (componentes fora da diagonal) são proporcionais a somas do tipo
com
. Como todas as coordenadas
e
são zero, todos esses produtos são nulos. Portanto o tensor de inércia é diagonal, com as componentes calculadas acima e demais elementos nulos.
Passo 4
Resumo do resultado do passo anterior (útil para os próximos itens):
e
para
.
Explicação física curta: as massas estão sobre o eixo
, então não há inércia para rotações em torno de
(
), e rotações fora do eixo
“veem” a distância
ao quadrado.
Passo 5
Momento angular de um corpo rígido:
, onde
é o tensor de inércia (matriz) e
é o vetor velocidade angular. No nosso movimento o pêndulo gira no plano, com velocidade angular de módulo
em torno do eixo perpendicular ao plano
. Assim
Como o tensor é diagonal e
tem apenas componente 3, o produto é direto:
Substituindo
do passo anterior:
Portanto o momento angular tem apenas componente ao longo de
(o “z” do enunciado) e seu valor escalar é exatamente a expressão acima.
Passo 6
Cálculo do torque devido à gravidade. Para uma massa puntal
localizada a uma distância
ao longo da barra, o torque em módulo devido ao peso
em relação à articulação é
onde
é o ângulo entre o vetor posição
(ao longo da barra) e a direção do peso (vertical para baixo). No nosso sistema, se o pêndulo faz ângulo
em relação à vertical, então o ângulo entre
e a vertical é
. Assim o torque escalar (com sinal, seguindo a regra da mão direita para a direção
) para cada massa é
(o sinal negativo aparece porque a gravidade tende a reduzir
quando
). Somando as contribuições de
e
(posicionados em
e
, respectivamente) obtemos o torque total:
Fatorando:
Observação geométrica: aqui usamos que a perpendicular do vetor peso à linha do pêndulo tem comprimento
, então o braço de alavanca é
.
Passo 7
Equação de movimento. Para um corpo rígido com ponto fixo na articulação a equação de movimento é a versão vetorial de Euler (na forma simples neste caso uniaxial):
Já vimos que
. O eixo
é perpendicular ao plano de oscilação e não muda de direção durante o movimento (é um eixo fixo no espaço do tipo “normal ao plano de movimento”), portanto a derivada temporal é simples:
Igualando à expressão do torque do passo anterior obtemos a equação escalar:
Substituindo
tem-se
Passo 8
Pequenas oscilações: para
usamos a aproximação
. A equação linearizada fica
Rearranjando para a forma padrão
, obtemos
Simplificando
e
:
que é a expressão desejada para a frequência de pequenas oscilações.
Resposta
a)
demais elementos nulos.
b)
c)
d)
b)
c)
d)