. (Symon 5.15) Um disco circular de raio a, localizado no plano x y, tem seu centro na origem O. A parte do disco acima do eixo x tem uma densidade \sigma, por unidade de área, e a metade abaixo do eixo x tem uma densidade 2 \sigma. Determine o centro de massa e os momentos de inércia, em relação aos eixos x, y, z e a um eixo paralelo que passa pelo CM. Utilize sempre que possível os teoremas simplificadores.
(resposta: X_{C M}=0, Y_{C M}=-4 a / 9 \pi ; I_{O x}=I_{O y}=I_{C M, y}=3 \pi a^{4} \sigma / 8, I_{O z}=3 \pi a^{4} \sigma / 4, I_{C M, z}=\left(81 \pi^{2}-32\right) a^{4} \sigma / 108 \pi, I_{C M, x}=\left(81 \pi^{2}-64\right) a^{4} \sigma / 216 \pi.)

Passo 1

O enunciado apresenta um disco circular de raio a no plano x y com centro na origem O. A densidade superficial (por unidade de área) é \sigma na metade do disco com y>0 (metade superior) e 2\sigma na metade com y<0 (metade inferior).\n
O que se pede:
  • Determinar o centro de massa (X_{CM},Y_{CM}) da lâmina.
  • Determinar os momentos de inércia em relação aos eixos x, y e z que passam por O: I_{Ox},I_{Oy},I_{Oz}.
  • Determinar os momentos de inércia em relação a eixos paralelos que passam pelo centro de massa: I_{CM,x},I_{CM,y},I_{CM,z}.\n
    Informações relevantes dadas:
  • Raio do disco: \,a.
  • Densidade superficial na metade superior: \,\sigma.
  • Densidade superficial na metade inferior: \,2\sigma.
  • A lâmina está no plano xy; elemento de área em coordenadas polares será usado se necessário: dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Fórmula para massa total M de uma lâmina com densidade \rho(x,y):
M=\iint \rho\,dA.
Aqui é mais rápido usar áreas das meias-luas: cada meia-área vale \tfrac{1}{2}\pi a^{2}. Logo a massa total é a soma das massas das duas metades:
M=\sigma\cdot\frac{\pi a^{2}}{2}+2\sigma\cdot\frac{\pi a^{2}}{2}=\frac{3}{2}\pi a^{2}\sigma.

Passo 3

Fórmulas do centro de massa para lâmina no plano:
X_{CM}=\frac{1}{M}\iint x\,\rho\,dA,\qquad Y_{CM}=\frac{1}{M}\iint y\,\rho\,dA.
Observação por simetria: a distribuição de densidade é simétrica em relação ao eixo y (lado esquerdo e direito têm mesma densidade em cada faixa de y), então a componente X_{CM} deve ser zero:
X_{CM}=0.

Passo 4

Cálculo de Y_{CM} por integral em coordenadas polares. Em polares temos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta. A metade superior corresponde a \theta\in[0,\pi] com densidade \sigma; a metade inferior corresponde a \theta\in[\pi,2\pi] com densidade 2\sigma. Então:
\iint y\rho\,dA = \sigma\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta +2\sigma\int_{\pi}^{2\pi}\int_{0}^{a} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr=\frac{a^{3}}{3}.
As integrais em \theta são
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,\qquad \int_{\pi}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=-2.
Assim o numerador fica
\iint y\rho\,dA=\sigma\cdot\frac{a^{3}}{3}\cdot 2 + 2\sigma\cdot\frac{a^{3}}{3}\cdot(-2) = -\frac{2}{3}\sigma a^{3}.
Portanto
Y_{CM}=\frac{1}{M}\left(-\frac{2}{3}\sigma a^{3}\right).
Substituindo M=\tfrac{3}{2}\pi a^{2}\sigma:
Y_{CM}=\frac{-\tfrac{2}{3}\sigma a^{3}}{\tfrac{3}{2}\pi a^{2}\sigma} = -\frac{4a}{9\pi}.
Intuição: negativo porque a metade inferior (com y<0) é mais densa.

Passo 5

Definições dos momentos de inércia para lâminas no plano:
I_{x}=\iint y^{2}\rho\,dA,\qquad I_{y}=\iint x^{2}\rho\,dA,\qquad I_{z}=I_{x}+I_{y}.
Vamos calcular I_{Ox} e I_{Oy} (e daí I_{Oz}). Em coordenadas polares:
I_{x}=\sigma\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} (r\sin\theta)^{2} r\,dr\,d\theta +2\sigma\int_{\pi}^{2\pi}\int_{0}^{a} (r\sin\theta)^{2} r\,dr\,d\theta.
O integral em r é
\int_{0}^{a} r^{3}\,dr=\frac{a^{4}}{4}.
As integrais angulares são
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2},\qquad \int_{\pi}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}.
Logo
I_{Ox}=\sigma\cdot\frac{a^{4}}{4}\cdot\frac{\pi}{2}+2\sigma\cdot\frac{a^{4}}{4}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{3\pi a^{4}\sigma}{8}.
Para I_{Oy} usamos o mesmo procedimento com \cos^{2}\theta; como \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\int_{\pi}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{\pi}{2}, obtemos o mesmo resultado:
I_{Oy}=\frac{3\pi a^{4}\sigma}{8}.

Passo 6

Aplicando o teorema do eixo perpendicular (para lâminas planas):
I_{Oz}=I_{Ox}+I_{Oy}=\frac{3\pi a^{4}\sigma}{8}+\frac{3\pi a^{4}\sigma}{8}=\frac{3\pi a^{4}\sigma}{4}.

Passo 7

Agora os momentos de inércia em torno de eixos paralelos que passam pelo centro de massa. Usamos o teorema dos eixos paralelos: se duas linhas paralelas estão separadas por distância d, então
I_{\text{sobre eixo passando pelo CM}}=I_{\text{eixo paralelo em O}}-M d^{2}.
Para o eixo y passando pelo CM a distância é d=|X_{CM}|=0, logo
I_{CM,y}=I_{Oy}=\frac{3\pi a^{4}\sigma}{8}.

Passo 8

Cálculo de I_{CM,z}. A distância entre o eixo z em O e o eixo z passando por CM é d=r_{CM}=\sqrt{X_{CM}^{2}+Y_{CM}^{2}}=|Y_{CM}| (pois X_{CM}=0). Então
I_{CM,z}=I_{Oz}-M Y_{CM}^{2}.
Já temos I_{Oz}=\tfrac{3\pi a^{4}\sigma}{4}, M=\tfrac{3}{2}\pi a^{2}\sigma e Y_{CM}=-\tfrac{4a}{9\pi}. Calcule M Y_{CM}^{2}:
M Y_{CM}^{2}=\frac{3}{2}\pi a^{2}\sigma\cdot\frac{16 a^{2}}{81\pi^{2}} =\frac{8}{27\pi}a^{4}\sigma.
Portanto
I_{CM,z}=\frac{3\pi a^{4}\sigma}{4}-\frac{8}{27\pi}a^{4}\sigma =\frac{81\pi^{2}-32}{108\pi}\,a^{4}\sigma.

Passo 9

Cálculo de I_{CM,x}. A distância entre os eixos x em O e o eixo x em CM é d=|Y_{CM}|. Assim
I_{CM,x}=I_{Ox}-M Y_{CM}^{2}.
Substituindo I_{Ox}=\tfrac{3\pi a^{4}\sigma}{8} e M Y_{CM}^{2}=\tfrac{8}{27\pi}a^{4}\sigma:
I_{CM,x}=\frac{3\pi a^{4}\sigma}{8}-\frac{8}{27\pi}a^{4}\sigma =\frac{81\pi^{2}-64}{216\pi}\,a^{4}\sigma.

Resposta

\,X_{CM}=0 \n
\,Y_{CM}=-\dfrac{4a}{9\pi} \n
\,I_{O x}=I_{O y}=I_{C M, y}=\dfrac{3\pi a^{4}\sigma}{8} \n
\,I_{O z}=\dfrac{3\pi a^{4}\sigma}{4} \n
\,I_{C M, z}=\dfrac{81\pi^{2}-32}{108\pi}\,a^{4}\sigma \n
\,I_{C M, x}=\dfrac{81\pi^{2}-64}{216\pi}\,a^{4}\sigma

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