. (Symon 5.15) Um disco circular de raio
, localizado no plano
, tem seu centro na origem
. A parte do disco acima do eixo
tem uma densidade
, por unidade de área, e a metade abaixo do eixo
tem uma densidade
. Determine o centro de massa e os momentos de inércia, em relação aos eixos
e a um eixo paralelo que passa pelo CM. Utilize sempre que possível os teoremas simplificadores.
(resposta:
,
.)
(resposta:
Passo 1
O enunciado apresenta um disco circular de raio
no plano
com centro na origem
. A densidade superficial (por unidade de área) é
na metade do disco com
(metade superior) e
na metade com
(metade inferior).\n
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar o centro de massa
da lâmina. - Determinar os momentos de inércia em relação aos eixos
, e que passam por : . - Determinar os momentos de inércia em relação a eixos paralelos que passam pelo centro de massa:
.\n
Informações relevantes dadas: - Raio do disco:
. - Densidade superficial na metade superior:
. - Densidade superficial na metade inferior:
. - A lâmina está no plano
; elemento de área em coordenadas polares será usado se necessário: .
Passo 2
Fórmula para massa total
de uma lâmina com densidade
:
Aqui é mais rápido usar áreas das meias-luas: cada meia-área vale
. Logo a massa total é a soma das massas das duas metades:
Passo 3
Fórmulas do centro de massa para lâmina no plano:
Observação por simetria: a distribuição de densidade é simétrica em relação ao eixo
(lado esquerdo e direito têm mesma densidade em cada faixa de
), então a componente
deve ser zero:
Passo 4
Cálculo de
por integral em coordenadas polares. Em polares temos
. A metade superior corresponde a
com densidade
; a metade inferior corresponde a
com densidade
. Então:
Calcule a integral em
:
As integrais em
são
Assim o numerador fica
Portanto
Substituindo
:
Intuição: negativo porque a metade inferior (com
) é mais densa.
Passo 5
Definições dos momentos de inércia para lâminas no plano:
Vamos calcular
e
(e daí
). Em coordenadas polares:
O integral em
é
As integrais angulares são
Logo
Para
usamos o mesmo procedimento com
; como
, obtemos o mesmo resultado:
Passo 6
Aplicando o teorema do eixo perpendicular (para lâminas planas):
Passo 7
Agora os momentos de inércia em torno de eixos paralelos que passam pelo centro de massa. Usamos o teorema dos eixos paralelos: se duas linhas paralelas estão separadas por distância
, então
Para o eixo
passando pelo CM a distância é
, logo
Passo 8
Cálculo de
. A distância entre o eixo
em
e o eixo
passando por CM é
(pois
). Então
Já temos
,
e
. Calcule
:
Portanto
Passo 9
Cálculo de
. A distância entre os eixos
em
e o eixo
em CM é
. Assim
Substituindo
e
: