. (Symon 5.7) A hélice de um avião de momento de inércia
está sujeita à ação de um torque acelerador:
e de um torque de atrito devido à resistência do ar:
onde
e
são constantes. Determine o estado estacionário do movimento.
(resposta:
(resposta:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o estado estacionário do movimento da hélice.
- A hélice tem momento de inércia
. - Há um torque acelerador variável no tempo dado por
onde
,
e
são constantes.
- Há um torque de atrito (resistência do ar) proporcional à velocidade angular:
onde
é constante e
é a velocidade angular.
- Pede-se o estado estacionário do movimento, ou seja, a solução particular que permanece depois que os transientes morreram.
Informações relevantes (resumindo):
são constantes conhecidas; a equação de movimento será obtida somando torques e usando
(torques totais). A resposta final deve dar
no regime estacionário.
Passo 2
Escrevemos a equação de movimento rotacional: a soma dos torques é igual a
vezes a aceleração angular. Portanto,
Substituindo
e
fornecidos:
Aqui cada símbolo significa:
— momento de inércia;
— posição angular;
e
— primeira e segunda derivadas temporais;
— coeficiente de atrito rotacional;
— torque aplicado (média
mais variação harmónica).
Passo 3
Para simplificar, definimos a velocidade angular
. Substituindo na equação obtemos uma EDO de primeira ordem para
:
Explicação do método: é mais simples resolver primeiro para
(uma EDO linear de primeira ordem com forçamento harmônico) e depois integrar para obter
. Procuraremos a solução estacionária (particular) dessa EDO, que corresponde ao regime permanente.
Passo 4
Usamos o método dos coeficientes indeterminados: como o lado direito tem uma constante e um cosseno de frequência
, faz sentido tentar uma solução particular do tipo
onde
são constantes a determinar. Justificação: uma combinação de seno e cosseno na mesma frequência gera, após derivação e multiplicação por constantes, termos na mesma base funcional; assim podemos igualar coeficientes.
Passo 5
Calculamos
e substituímos na EDO:
Substituindo em
e agrupando termos constantes, de
e de
, obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
- coeficiente constante:
- coeficiente de
:
- coeficiente de
:
Passo 6
Resolvemos o sistema das duas equações lineares para
e
. Da última equação isolamos
:
Substituímos na equação do coeficiente de
:
Fatorando
e multiplicando por
:
portanto
Agora
fica
Passo 7
Assim a solução particular para a velocidade angular é
Interpretação física rápida: o termo
é a velocidade angular média (torque médio dividido pelo atrito), e os outros termos são oscilações forçadas com frequência
e amplitude determinada pelo equilíbrio entre inércia
e amortecimento
.
Passo 8
Agora integramos
para obter
. Tome uma constante de integração
. Integramos termo a termo:
Calcule as integrais:
Portanto
Passo 9
Para escrever a resposta numa forma equivalente à do enunciado, multiplicamos numerador e denominador do último termo por
, obtendo o mesmo denominador apresentado:
Assim a forma final (estado estacionário) fica
Observação sobre transientes: a solução geral contém também a solução homogênea da EDO original, que é uma combinação de termos que decaem exponencialmente como
. Esses transientes desaparecem com o tempo, restando o regime estacionário que acabamos de encontrar.