. (Symon 5.7) A hélice de um avião de momento de inércia I está sujeita à ação de um torque acelerador:
N=N_{0}\left[1+\alpha \cos \left(\omega_{0} t\right)\right]
e de um torque de atrito devido à resistência do ar:
N_{f}=-b \dot{\theta}
onde N_{0}, \alpha, \omega_{0} e b são constantes. Determine o estado estacionário do movimento.
(resposta: \left.\theta=\theta_{0}+\left(N_{0} / b\right) t+\left[\alpha N_{0} /\left(I^{2} \omega_{0}^{3}+b^{2} \omega_{0}\right)\right]\left[b \sin \left(\omega_{0} t\right)-I \omega_{0} \cos \left(\omega_{0} t\right)\right].\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o estado estacionário do movimento da hélice.
  • A hélice tem momento de inércia I.
  • Há um torque acelerador variável no tempo dado por
N=N_{0}\left[1+\alpha \cos\!\left(\omega_{0} t\right)\right],
onde N_{0}, \alpha e \omega_{0} são constantes.
  • Há um torque de atrito (resistência do ar) proporcional à velocidade angular:
N_{f}=-b\,\dot{\theta},
onde b é constante e \dot{\theta} é a velocidade angular.
  • Pede-se o estado estacionário do movimento, ou seja, a solução particular que permanece depois que os transientes morreram.
Informações relevantes (resumindo): \;I,\;N_{0},\;\alpha,\;\omega_{0},\;b são constantes conhecidas; a equação de movimento será obtida somando torques e usando I\ddot{\theta}= (torques totais). A resposta final deve dar \theta(t) no regime estacionário.

Passo 2

Escrevemos a equação de movimento rotacional: a soma dos torques é igual a I vezes a aceleração angular. Portanto,
I\ddot{\theta}=N+N_{f}.
Substituindo N e N_{f} fornecidos:
I\ddot{\theta}+b\dot{\theta}=N_{0}\left[1+\alpha \cos\!\left(\omega_{0} t\right)\right].
Aqui cada símbolo significa: I — momento de inércia; \theta(t) — posição angular; \dot{\theta} e \ddot{\theta} — primeira e segunda derivadas temporais; b — coeficiente de atrito rotacional; N_{0}[1+\alpha\cos(\omega_{0}t)] — torque aplicado (média N_{0} mais variação harmónica).

Passo 3

Para simplificar, definimos a velocidade angular \omega(t)=\dot{\theta}(t). Substituindo na equação obtemos uma EDO de primeira ordem para \omega:
I\dot{\omega}+b\omega=N_{0}\left[1+\alpha\cos\!\left(\omega_{0} t\right)\right].
Explicação do método: é mais simples resolver primeiro para \omega(t) (uma EDO linear de primeira ordem com forçamento harmônico) e depois integrar para obter \theta(t). Procuraremos a solução estacionária (particular) dessa EDO, que corresponde ao regime permanente.

Passo 4

Usamos o método dos coeficientes indeterminados: como o lado direito tem uma constante e um cosseno de frequência \omega_{0}, faz sentido tentar uma solução particular do tipo
\omega_{p}(t)=C_{0}+C_{c}\cos\!\left(\omega_{0} t\right)+C_{s}\sin\!\left(\omega_{0} t\right),
onde C_{0},C_{c},C_{s} são constantes a determinar. Justificação: uma combinação de seno e cosseno na mesma frequência gera, após derivação e multiplicação por constantes, termos na mesma base funcional; assim podemos igualar coeficientes.

Passo 5

Calculamos \dot{\omega}_{p} e substituímos na EDO:
\dot{\omega}_{p}(t)=-C_{c}\,\omega_{0}\sin\!\left(\omega_{0} t\right)+C_{s}\,\omega_{0}\cos\!\left(\omega_{0} t\right).
Substituindo em I\dot{\omega}+b\omega=N_{0}[1+\alpha\cos(\omega_{0}t)] e agrupando termos constantes, de \cos e de \sin, obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
  • coeficiente constante:
bC_{0}=N_{0}\quad\Rightarrow\quad C_{0}=\frac{N_{0}}{b}.
  • coeficiente de \cos(\omega_{0}t):
I\omega_{0}C_{s}+bC_{c}=N_{0}\alpha.
  • coeficiente de \sin(\omega_{0}t):
- I\omega_{0}C_{c}+bC_{s}=0.

Passo 6

Resolvemos o sistema das duas equações lineares para C_{c} e C_{s}. Da última equação isolamos C_{s}:
C_{s}=\frac{I\omega_{0}}{b}\,C_{c}.
Substituímos na equação do coeficiente de \cos:
I\omega_{0}\left(\frac{I\omega_{0}}{b}C_{c}\right)+bC_{c}=N_{0}\alpha.
Fatorando C_{c} e multiplicando por b:
C_{c}\left(b^{2}+I^{2}\omega_{0}^{2}\right)=N_{0}\alpha\,b,
portanto
C_{c}=\frac{N_{0}\alpha\,b}{b^{2}+I^{2}\omega_{0}^{2}}.
Agora C_{s} fica
C_{s}=\frac{I\omega_{0}}{b}\,C_{c}=\frac{N_{0}\alpha\,I\omega_{0}}{b^{2}+I^{2}\omega_{0}^{2}}.

Passo 7

Assim a solução particular para a velocidade angular é
\omega_{p}(t)=\frac{N_{0}}{b}+\frac{N_{0}\alpha}{b^{2}+I^{2}\omega_{0}^{2}}\left[b\cos\!\left(\omega_{0} t\right)+I\omega_{0}\sin\!\left(\omega_{0} t\right)\right].
Interpretação física rápida: o termo \dfrac{N_{0}}{b} é a velocidade angular média (torque médio dividido pelo atrito), e os outros termos são oscilações forçadas com frequência \omega_{0} e amplitude determinada pelo equilíbrio entre inércia I e amortecimento b.

Passo 8

Agora integramos \omega_{p}=\dot{\theta}_{p} para obter \theta_{p}. Tome uma constante de integração \theta_{0}. Integramos termo a termo:
\theta_{p}(t)=\theta_{0}+\frac{N_{0}}{b}\,t+\frac{N_{0}\alpha}{b^{2}+I^{2}\omega_{0}^{2}}\int\left[b\cos\!\left(\omega_{0} t\right)+I\omega_{0}\sin\!\left(\omega_{0} t\right)\right]dt.
Calcule as integrais:
\int b\cos\!\left(\omega_{0} t\right)dt=\frac{b}{\omega_{0}}\sin\!\left(\omega_{0} t\right), \qquad \int I\omega_{0}\sin\!\left(\omega_{0} t\right)dt=-I\cos\!\left(\omega_{0} t\right).
Portanto
\theta_{p}(t)=\theta_{0}+\frac{N_{0}}{b}\,t+\frac{N_{0}\alpha}{b^{2}+I^{2}\omega_{0}^{2}}\left[\frac{b}{\omega_{0}}\sin\!\left(\omega_{0} t\right)-I\cos\!\left(\omega_{0} t\right)\right].

Passo 9

Para escrever a resposta numa forma equivalente à do enunciado, multiplicamos numerador e denominador do último termo por \omega_{0}, obtendo o mesmo denominador apresentado:
b^{2}+I^{2}\omega_{0}^{2}=\frac{I^{2}\omega_{0}^{3}+b^{2}\omega_{0}}{\omega_{0}}.
Assim a forma final (estado estacionário) fica
\theta(t)=\theta_{0}+\frac{N_{0}}{b}\,t+\frac{\alpha N_{0}}{I^{2}\omega_{0}^{3}+b^{2}\omega_{0}}\left[b\sin\!\left(\omega_{0} t\right)-I\omega_{0}\cos\!\left(\omega_{0} t\right)\right].
Observação sobre transientes: a solução geral contém também a solução homogênea da EDO original, que é uma combinação de termos que decaem exponencialmente como \exp(-b t/I). Esses transientes desaparecem com o tempo, restando o regime estacionário que acabamos de encontrar.

Resposta

\theta=\theta_{0}+\left(N_{0}/b\right)t+\left[\alpha N_{0}/\left(I^{2}\omega_{0}^{3}+b^{2}\omega_{0}\right)\right]\left[b\sin\left(\omega_{0} t\right)-I\omega_{0}\cos\left(\omega_{0} t\right)\right]

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