69 Três ondas senoidais de mesma frequência se propagam em uma corda no sentido positivo de um eixo x. As amplitudes das ondas são y1, y1 / 2 e y1 / 3 e as constantes de fase são 0, pi / 2 e pi, respectivamente. (a) Qual é a amplitude e (b) qual a constante de fase da onda resultante? © Plote a onda resultante no instante t=0 e discuta o comportamento da onda quando t aumenta.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos três ondas senoidais, todas com a mesma frequência, viajando em +x numa corda. As amplitudes são
Asintheta + Bcostheta = R,sin(theta+varphi),
R=raizA^2+B^2, varphi=arctanBA com fase ,
com fase .
Precisamos usar superposição de ondas (somar as três funções), valendo as identidades de soma de ângulos (ex.: , ) e a fórmula
com

Passo 2

Escreve cada onda como
y1 = y1sin(kx-omega t),
y2 = y12sinl(kx-omega t + tfracpi2r) = y12cos(kx-omega t),
y3 = y13sinl(kx-omega t + pir) = -y13sin(kx-omega t)

Passo 3

Fazendo y = y1sintheta + tfracy12costheta - tfracy13sintheta = l(y1 - tfracy13r)sintheta + tfracy12costheta = tfrac2y13sintheta + tfracy12costheta , a soma é

Passo 4

Agora aplicamos
Asintheta + Bcostheta = Rsin(theta+varphi),
com
R = raizl(tfrac2y13r)^2 + l(tfracy12r)^2 = y1raiztfrac49 + tfrac14 = y1raiztfrac16+936 = 56,y1, , varphi = arctan!l(BAr) = arctan!l(tfracy12tfrac2y13r) = arctan!l(tfrac34r) .
Então

Passo 5

(a) O resultado geral é
y(x,t) = 56,y1;sin!l(kx - omega t + arctantfrac34r)
(b) Amplitude y(x,0) = 56y1;sin!l(kx + arctantfrac34r) e fase (radianos, cerca de ,rad).
© Em :
É só uma senoide de amplitude deslocada pra esquerda de . Conforme cresce, essa mesma forma de onda se move rigidamente para a direita com velocidade .

Resposta

Amplitude resultante:
Constante de fase:
Equação completa:
No instante , é uma senoide de amplitude e deslocamento de fase ; ao longo do tempo ela simplesmente se desloca para +x sem mudar de forma.

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