Calcule o tensor momento de inércia de uma esfera sólida x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o tensor momento de inércia da esfera sólida definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.
Informações dadas (e suposições necessárias):
A região é uma esfera de raio R centrada na origem.
Vou assumir que a esfera é homogênea (densidade volumétrica constante). Denoto a densidade por \rho e a massa total por M.
O objetivo é obter o tensor de inércia I_{ij} (uma matriz 3\times3 cujos elementos são os momentos e produtos de inércia) relativo ao sistema de coordenadas com origem no centro da esfera.
Passo 2
Definição que vamos usar (fórmula geral do tensor de inércia de um corpo contínuo):
\rho é a densidade volumétrica (constante, pela homogeneidade),
\delta_{ij} é o delta de Kronecker (vale 1 se i=j e 0 se i\ne j),
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
(x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z),
dV é o elemento de volume.
Explicação rápida do que essa fórmula faz: o termo \delta_{ij}r^{2} gera os termos diagonais relacionados a soma dos quadrados das coordenadas, e o termo -x_{i}x_{j} remove a contribuição correspondente à própria coordenada, produzindo os momentos e produtos de inércia conforme a definição física. Vamos calcular os elementos componentes usando simetria e integrais.
Passo 3
Expressão da massa total em termos de \rho e R. A massa é
Calcular a integral \int_{V}r^{2}\,dV sobre a esfera de raio R usando coordenadas esféricas (padrão: r radial, \theta polar, \varphi azimutal; elemento de volume dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi):
Produtos de inércia (componentes fora da diagonal).
A fórmula dá, para i\ne j,
I_{ij}=-\int_{V}\rho\,x_{i}x_{j}\,dV.
Por simetria da esfera cada um desses integrandos é uma função ímpar em relação à troca de sinal de uma coordenada (por exemplo x y muda de sinal se x\to -x, mantendo o volume simétrico), então a integral sobre a esfera dá zero. Mais direto: para todo par i\ne j,
I_{ij}=0.
Passo 8
Juntando tudo: o tensor de inércia é diagonal, com entradas iguais \dfrac{2}{5}MR^{2}. Em notação de componentes:
Resultado válido para esfera sólida homogênea de massa M e raio R, com origem no centro.
O tensor é isotrópico (proporcional à identidade) porque a esfera é simétrica em todas as direções.
Se preferir, pode expressar diretamente em termos de densidade \rho: I_{ij}=(8\pi/15)\rho R^{5}\,\delta_{ij}, e substituindo \rho recupera a forma em M.
Força aí — já era a parte teórica complicada; na prova, basta lembrar que para uma esfera sólida homogênea I=\tfrac{2}{5}MR^{2} vezes a identidade e justificar por simetria se pedirem.