Calcule o tensor momento de inércia de uma esfera sólida x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o tensor momento de inércia da esfera sólida definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.
Informações dadas (e suposições necessárias):
  • A região é uma esfera de raio R centrada na origem.
  • Vou assumir que a esfera é homogênea (densidade volumétrica constante). Denoto a densidade por \rho e a massa total por M.
  • O objetivo é obter o tensor de inércia I_{ij} (uma matriz 3\times3 cujos elementos são os momentos e produtos de inércia) relativo ao sistema de coordenadas com origem no centro da esfera.

Passo 2

Definição que vamos usar (fórmula geral do tensor de inércia de um corpo contínuo):
I_{ij}=\int_{V}\rho\big(\delta_{ij}\,r^{2}-x_{i}x_{j}\big)\,dV,
onde:
  • V é o volume do corpo (a esfera de raio R),
  • \rho é a densidade volumétrica (constante, pela homogeneidade),
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker (vale 1 se i=j e 0 se i\ne j),
  • r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
  • (x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z),
  • dV é o elemento de volume.
Explicação rápida do que essa fórmula faz: o termo \delta_{ij}r^{2} gera os termos diagonais relacionados a soma dos quadrados das coordenadas, e o termo -x_{i}x_{j} remove a contribuição correspondente à própria coordenada, produzindo os momentos e produtos de inércia conforme a definição física. Vamos calcular os elementos componentes usando simetria e integrais.

Passo 3

Expressão da massa total em termos de \rho e R. A massa é
M=\rho \cdot \text{vol}( \text{esfera})=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}.
Isto permite, no final, escrever o resultado em termos de M (prático para a resposta).

Passo 4

Cálculo dos componentes diagonais (por simetria todos iguais).
Primeiro, escrevo um componente diagonal, por exemplo I_{xx}:
I_{xx}=\int_{V}\rho(y^{2}+z^{2})\,dV.
Podemos escrever y^{2}+z^{2}=r^{2}-x^{2}. Pela simetria da esfera temos
\int_{V}x^{2}\,dV=\int_{V}y^{2}\,dV=\int_{V}z^{2}\,dV,
e como x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} segue que
\int_{V}x^{2}\,dV=\frac{1}{3}\int_{V}r^{2}\,dV.
Substituindo em I_{xx}:
I_{xx}=\int_{V}\rho\big(r^{2}-x^{2}\big)\,dV =\rho\int_{V}r^{2}\,dV-\rho\int_{V}x^{2}\,dV =\rho\int_{V}r^{2}\,dV-\rho\cdot\frac{1}{3}\int_{V}r^{2}\,dV =\frac{2}{3}\rho\int_{V}r^{2}\,dV.
Portanto
I_{xx}=\frac{2}{3}\rho\int_{V}r^{2}\,dV.
Pelo mesmo argumento I_{yy}=I_{zz}=I_{xx}.

Passo 5

Calcular a integral \int_{V}r^{2}\,dV sobre a esfera de raio R usando coordenadas esféricas (padrão: r radial, \theta polar, \varphi azimutal; elemento de volume dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi):
\int_{V}r^{2}\,dV =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} r^{2}\big(r^{2}\sin\theta\big)\,d\varphi\,d\theta\,dr =\int_{0}^{R} r^{4}\,dr \cdot \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta \cdot \int_{0}^{2\pi}d\varphi.
Avalio cada integral:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,\quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2,\quad \int_{0}^{R} r^{4}\,dr = \frac{R^{5}}{5}.
Multiplicando:
\int_{V}r^{2}\,dV = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^{5}}{5} = \frac{4\pi}{5}R^{5}.

Passo 6

Coloco esse resultado em I_{xx}:
I_{xx}=\frac{2}{3}\rho\cdot \frac{4\pi}{5}R^{5}=\frac{8\pi}{15}\rho R^{5}.
Agora substituo \rho em função de M usando M=\rho\frac{4}{3}\pi R^{3}, ou seja \rho=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}}. Substituindo:
I_{xx}=\frac{8\pi}{15}\cdot\frac{3M}{4\pi R^{3}}\cdot R^{5} =\frac{8\pi}{15}\cdot\frac{3M}{4\pi}\cdot R^{2}.
Faço as simplificações (mostro passo a passo):
\frac{8\pi}{15}\cdot\frac{3}{4\pi}=\frac{8\cancel{\pi}}{15}\cdot\frac{3}{4\cancel{\pi}}=\frac{8\cdot 3}{15\cdot 4}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}.
Logo
I_{xx}=\frac{2}{5}MR^{2}.
E, por simetria,
I_{yy}=I_{zz}=\frac{2}{5}MR^{2}.

Passo 7

Produtos de inércia (componentes fora da diagonal).
A fórmula dá, para i\ne j,
I_{ij}=-\int_{V}\rho\,x_{i}x_{j}\,dV.
Por simetria da esfera cada um desses integrandos é uma função ímpar em relação à troca de sinal de uma coordenada (por exemplo x y muda de sinal se x\to -x, mantendo o volume simétrico), então a integral sobre a esfera dá zero. Mais direto: para todo par i\ne j,
I_{ij}=0.

Passo 8

Juntando tudo: o tensor de inércia é diagonal, com entradas iguais \dfrac{2}{5}MR^{2}. Em notação de componentes:
I_{ij}=\frac{2}{5}MR^{2}\,\delta_{ij}.
Em forma matricial (base cartesiana (x,y,z)):
I=\frac{2}{5}MR^{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Resumo final e observações rápidas:
  • Resultado válido para esfera sólida homogênea de massa M e raio R, com origem no centro.
  • O tensor é isotrópico (proporcional à identidade) porque a esfera é simétrica em todas as direções.
  • Se preferir, pode expressar diretamente em termos de densidade \rho: I_{ij}=(8\pi/15)\rho R^{5}\,\delta_{ij}, e substituindo \rho recupera a forma em M.
Força aí — já era a parte teórica complicada; na prova, basta lembrar que para uma esfera sólida homogênea I=\tfrac{2}{5}MR^{2} vezes a identidade e justificar por simetria se pedirem.

Resposta

I_{ij}=\frac{2}{5}MR^{2}\,\delta_{ij}
I=\frac{2}{5}MR^{2}\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}]

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