Flexão de vigas compostas
- Exercício II: A laje de concreto de baixa resistência é integrada a uma viga de aço A-36, de abas largas, usando pinos de cisalhamento (não mostrados) para formar a viga composta. Se a tensão de flexão admissível para o concreto é de
e para o aço é de
, determine o máximo momento fletor que pode ser aplicado à viga composta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o máximo momento fletor que pode ser aplicado à viga composta (laje de concreto + viga de aço A-36) sabendo que as tensões admissíveis são
e
.\n
Informações explicitamente fornecidas pelo enunciado:
e
.\n
Informações que o enunciado não fornece (mas que são necessárias para calcular numericamente o momento máximo):
Informações explicitamente fornecidas pelo enunciado:
Informações que o enunciado não fornece (mas que são necessárias para calcular numericamente o momento máximo):
- Geometria da laje (largura útil
e espessura ).\n - Geometria da viga de aço A-36 (largura das abas
, espessura das abas , altura útil do web , espessura do web , ou, de modo equivalente, as áreas e posições centrais das partes em relação a um datum).\n - Distância vertical entre a laje e a viga (caso a laje fique afastada do topo da flange e isso influencie as posições dos centróides).\n
- Módulos de elasticidade
e (ou aceita-se valores típicos: e depende do concreto; sem figura não posso assumir valores sem sua confirmação).\n
Como o enunciado faz referência a uma figura não enviada (onde normalmente aparecem todas as dimensões da seção composta), NÃO há como obter um valor numérico definitivo do momento máximo. Portanto, não posso fornecer um número final sem esses dados. \n
Nos passos seguintes vou ensinar passo a passo o método completo (com fórmulas e raciocínio) que você deve aplicar assim que tiver as dimensões — ou que você pode usar para conferir quando enviar a figura/dados. Vou usar notação simbólica para cada peça, explicar cada fórmula e mostrar como obter ofinal a partir dos dados.
Passo 2
Escolha do método e hipóteses (explicação didática e por que usar este método).\n
Método escolhido: método da seção transformada (transformar o concreto em área equivalente de aço, ou vice-versa). Por que? Porque temos dois materiais diferentes com módulos de elasticidade diferentes e queremos aplicar a teoria elástica da flexão (seções planas permanecem planas) para achar esforços internos e tensões. A seção transformada permite reduzir o problema para um único material (ex.: todo em aço equivalente), calcular o eixo neutro e o momento de inércia transformado e aplicar a fórmula da flexão.\n
Hipóteses que faremos (são as mais usadas em problemas de viga composta elástica):
Método escolhido: método da seção transformada (transformar o concreto em área equivalente de aço, ou vice-versa). Por que? Porque temos dois materiais diferentes com módulos de elasticidade diferentes e queremos aplicar a teoria elástica da flexão (seções planas permanecem planas) para achar esforços internos e tensões. A seção transformada permite reduzir o problema para um único material (ex.: todo em aço equivalente), calcular o eixo neutro e o momento de inércia transformado e aplicar a fórmula da flexão.\n
Hipóteses que faremos (são as mais usadas em problemas de viga composta elástica):
- A ligação entre laje e viga é perfeita (pinos/estud bolts garantem cisalhamento suficiente): seções planas permanecem planas.
- Comportamento elástico linear (nenhum material excede seu limite na etapa de cálculo; vamos checar isso).
- Distribuição de tensões linear com a distância ao eixo neutro (lei da flexão).
- Não consideramos fissuração do concreto; tratamos o concreto como material linear-elástico (se o enunciado é de “concreto de baixa resistência” e não há dados sobre fissuração, usamos elasticidade linear; se fissuração for importante, o método muda).
Passo 3
Definir variáveis geométricas e propriedades — configurar o problema em termos de símbolos. (Isto é para você aplicar com seus números.)\n
Defina as seguintes grandezas (todas as variáveis matemáticas estarão em TeX):\n
Defina as seguintes grandezas (todas as variáveis matemáticas estarão em TeX):\n
- Para a laje de concreto:\n
-
= largura útil da laje (m)\n -
= espessura da laje (m)\n - Área da laje:
(m²)\n - Distância vertical do datum até o centróide da laje:
(m)\n
-
- Para a viga de aço (divida em peças simples, por exemplo, flange superior, flange inferior e alma):\n
- Flange superior: largura
, espessura , área , centróide em .\n - Alma (web): largura
, altura , área , centróide em .\n - Flange inferior: largura
, espessura , área , centróide em .\n - Área total do aço:
.\n
- Flange superior: largura
- Módulos de elasticidade:\n
-
(típico: , se quiser usar um valor padrão).\n -
(depende do concreto; para exemplos pedagógicos costuma-se usar , mas não vou assumir sem confirmação).\n
-
- Fator de transformação (transformando o concreto para equivalente em aço):\n
-
\n
Observação importante (para não confundir): se você transformar o concreto em aço, multiplica-se a área do concreto por(que é menor que 1). Se preferir transformar o aço para concreto, o fator seria .
-
Passo 4
Como encontrar o eixo neutro da seção transformada (passo-a-passo).\n
- Calcule as áreas transformadas:\n
-
(área da laje convertida em equivalente aço).\n - Para o aço,
(já é aço).\n
-
- Determine as posições dos centróides de cada peça medidas a partir de um datum vertical (por exemplo, da base da viga ou do topo; escolha um conveniente). Use os
correspondentes.\n - Calcule o centróide (eixo neutro) da seção transformada:\n
Explanação didática: \n
- A ideia é pesar cada área (transformada) pela sua distância ao datum e dividir pela área total transformada. Isso dá a posição do eixo neutro em relação ao datum. É análogo ao cálculo de centro de massa, só que aqui as “massas” são áreas transformadas.
Passo 5
Calcular o momento de inércia transformado
em torno do eixo neutro encontrado.\n
Para cada peça (laje transformada, flange, alma, etc.) faça:\n
Para cada peça
- Calcule o momento de inércia da peça em torno do seu próprio centróide (fórmula para retângulo):\n
(troque
e
conforme a orientação da peça; por exemplo, para uma flange retangular com largura
e espessura
,
em relação ao eixo centroidal horizontal).\n
2) Transforme esse multiplicando pelo mesmo fator de transformação da área:\n
2) Transforme esse
onde
para partes de concreto e
para aço (porque transformamos para aço). Isso é coerente com a definição de seção transformada.\n
3) Use o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para deslocar até o eixo neutro:\n
3) Use o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para deslocar até o eixo neutro:\n
onde
é a distância entre o centróide da peça e o eixo neutro, e
é a área transformada.\n
4) Somando todas as peças:\n
4) Somando todas as peças:\n
Comentário didático: com
e a posição do eixo neutro já temos a inércia equivalente da seção composta, necessária para o cálculo das tensões por flexão.
Passo 6
Cálculo das tensões máximas e dos momentos correspondentes — fórmulas finais que você aplicará com números.\n
Depois de obter e
, determine as distâncias das fibras extremas àquele eixo neutro:\n
Depois de obter
-
= distância do eixo neutro até a fibra extrema do concreto que estiver sob maior tensão (geralmente a face superior da laje, para um momento positivo que provoca compressão superior).\n -
= distância do eixo neutro até a fibra extrema do aço (por exemplo, a borda da flange inferior ou superior, dependendo do sinal do momento).\n
Ao usar a seção transformada para aço, a relação entre momentoe tensão no aço numa fibra a distância do eixo neutro é a fórmula clássica (porque transformamos para o mesmo material):\n
Para o concreto, lembrando que transformamos a área por
, a tensão no concreto fica (mostro a dedução rápida): a curvatura
satisfaz
. A tensão no concreto é
\n
Portanto as duas fórmulas práticas são:\n
Portanto as duas fórmulas práticas são:\n
Para que nenhuma tensão exceda sua admissível, devemos exigir:\n
Isolando
em cada desigualdade obtemos os momentos limites individuais:\n
Finalmente, o momento máximo admissível para a viga composta é o menor desses dois (o que ocorre primeiro):\n
Didática curta sobre interpretação:\n
-
indica qual momento faria a fibra mais solicitada do aço alcançar .\n -
indica qual momento faria a fibra mais solicitada do concreto alcançar .\n - O menor dos dois controles o projeto (porque ao ultrapassar um deles já teremos falha/limite).
Passo 7
Resumo do algoritmo prático que você seguirá em prova (passo-a-passo operacional, sem teoria extra):\n
- Anote todas as dimensões e
-moduli.\n - Calcule
(se transformar concreto em aço) ou o inverso se preferir transformar aço em concreto.\n - Calcule
e mantenha .\n - Calcule o eixo neutro da seção transformada:
.\n - Calcule
.\n - Determine
e (distâncias do eixo neutro até as fibras críticas).\n - Calcule
e pelas fórmulas do Passo 6.\n -
.\n
Dica de prova: escreva claramente que você está transformando concreto em aço (ou o inverso), indique, mostre o cálculo do eixo neutro e do . Isso costuma valer muitos pontos porque demonstra o entendimento do método.
Passo 8
Observações usuais e erros comuns (para garantir que você não caia neles na prova).\n
- Não esquecer de multiplicar o momento de inércia do retângulo pelo mesmo fator de transformação
quando a peça for de concreto.\n - Cuidado com sinais e com qual fibra é a mais solicitada: para momento positivo (sag) a laje superior fica em compressão, para momento negativo (hogging) a laje pode ficar em tração — verifique sempre o sentido do momento do problema.\n
- Não confundir
(fator de transformação) com ; aqui defino para transformar concreto em área equivalente de aço.\n - Se o concreto fissurar, seu módulo efetivo cai e o método muda (normalmente considera-se concreto tracionado sem resistência). Se o enunciado não mencionar fissura, use a hipótese elástica inteira.
Passo 9
Mini-exemplo ilustrativo (apenas para fixar o método) — ATENÇÃO: isto é apenas ilustrativo; não correspondo ao seu enunciado porque você não enviou dimensões. Se você quiser que eu execute esse exemplo com números reais, envie as dimensões reais.\n
Suponha (apenas como exemplo) que:\n
Suponha (apenas como exemplo) que:\n
-
, (laje 1,0 m de largura útil, 10 cm espessura), então .\n - Viga de aço retangular equivalente com área total
e centróides etc. (valores inventados só para mostrar as operações). \n -
, → \n
Com esses números você iria calcular, depois , depois , achar e enfim obter e . O processo é exatamente o que detalhei nos passos anteriores. \n
Se quiser, eu faço esse cálculo ilustrativo completo com números fictícios para mostrar cada conta. Mas atenção: não é a solução do seu problema real.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque a figura/dimensões da seção composta (larguras, espessuras, posições dos centróides e módulos
) não foram fornecidas. Para obter
forneça as dimensões da laje e da viga (ou a figura com cotas) e os
-moduli, e eu aplicarei imediatamente o procedimento acima e entregarei o valor numérico final.