Calcule o termo máximo no desenvolvimento de
\left(1+\frac{1}{3}\right)^{50}.
(Dica: observe que T_{0}<T_{1}<T_{2}<\ldots e encontre p tal que T_{p}>T_{p+1} ou equivalentemente \frac{T_{p}}{T_{p+1}}>1 )

Passo 1

O desenvolvimento de (1+\tfrac13)^{50} gera termos
T_k = \binom{50}{k}\,1^{50-k}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^k = \frac{\binom{50}{k}}{3^k},
para k=0,1,2,\dots,50. Queremos achar o índice p tal que os termos crescem até T_p e depois decrescem, isto é, T_p>T_{p+1}.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{T_k}{T_{k+1}} = \frac{\binom{50}{k}/3^k}{\binom{50}{k+1}/3^{\,k+1}} =3\;\frac{\binom{50}{k}}{\binom{50}{k+1}} =3\;\frac{k+1}{50-k}.

Passo 3

Impondo \tfrac{T_k}{T_{k+1}}>1 para detectar a passagem de crescimento a decréscimo, temos
3\,\frac{k+1}{50-k}>1 \;\Longrightarrow\; 3(k+1)>50-k \;\Longrightarrow\; 4k>47 \;\Longrightarrow\; k>11{,}75.
Logo a razão fica maior que 1 quando k\ge12, e menor que 1 para k\le11.

Passo 4

Isto significa que
  • para k\le11, \tfrac{T_k}{T_{k+1}}<1, logo T_k<T_{k+1} (cresce);
  • para k\ge12, \tfrac{T_k}{T_{k+1}}>1, logo T_k>T_{k+1} (decresce).
Portanto o termo máximo ocorre em k=12.

Resposta

O termo máximo é
T_{12} \;=\;\binom{50}{12}\,\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{12}.

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