Com 7 vitaminas diferentes, quantos coquetéis de duas ou mais vitaminas podemos formar?

Passo 1

O enunciado nos dá 7 vitaminas distintas e pede para contar quantos coquetéis com pelo menos duas vitaminas podemos formar. O conteúdo aqui é contagem de subconjuntos de um conjunto finito.

Passo 2

Cada coquetel é um subconjunto de vitaminas de tamanho k, com k\ge2. Assim, o número total de coquetéis é
\sum_{k=2}^{7}\binom{7}{k}.

Passo 3

Para simplificar, usamos o princípio do complemento: a soma de todos os subconjuntos de um conjunto de 7 elementos é 2^7. Descontamos o vazio \binom{7}{0} e os subconjuntos de tamanho 1 \binom{7}{1}:
\sum_{k=2}^{7}\binom{7}{k} =2^7-\binom{7}{0}-\binom{7}{1} =128-1-7 =120.

Resposta

120

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