Sabendo que
\left(1+x+x^{2}\right)^{n}=A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\cdots+A_{2 n} x^{2 n}, determine o valor de:
(a) A_{0}+A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{2 n}
(b) A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2 n}

Passo 1

O enunciado nos dá a expansão da potência
\bigl(1+x+x^{2}\bigr)^{n} = A_{0} + A_{1}x + A_{2}x^{2} + \cdots + A_{2n}x^{2n}
e pede duas somas de coeficientes. Para resolvê-las vamos usar a propriedade de que a soma de todos os coeficientes de um polinômio P(x) é P(1), e que a soma dos coeficientes de grau par é \bigl(P(1)+P(-1)\bigr)/2.

Passo 2

Para a parte (a) queremos
A_{0} + A_{1} + A_{2} + \cdots + A_{2n} =\bigl(1+1+1\bigr)^{n} =3^{n}.
Aqui usamos P(1)=(1+1+1)^{n}=3^{n}.

Passo 3

Para a parte (b) queremos a soma dos coeficientes de grau par:
A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2n} =\frac{P(1)+P(-1)}{2}
com P(x)=(1+x+x^{2})^{n}. Calculamos
P(1)=3^{n}, \quad P(-1)=\bigl(1-1+1\bigr)^{n}=1^{n}=1.
Logo,
A_{0}+A_{2}+\cdots+A_{2n} =\frac{3^{n}+1}{2}.

Resposta

(a) 3^{n}
(b) \dfrac{3^{n}+1}{2}

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