Calcule o termo médio no desenvolvimento de ( 2 a+2a)^8. R 17.920

Passo 1

O enunciado pede o termo médio no desenvolvimento de (2a + 2a)^8. Esse é um problema de Teorema do Binômio de Newton, onde vamos usar a fórmula do termo geral para encontrar especificamente o quinto termo (termo médio) da expansão.

Passo 2

No Teorema do Binômio de Newton, para (x+y)^n o termo geral é dado por:
Tk+1 = binomnk,x^,n-k,y^k
Aqui, identificamos:
x = 2a, y = \frac{2}{a}, n = 8.

Passo 3

Como o número de termos é n+1 = 9, o termo médio é o quinto termo, ou seja, corresponde a k = 4.

Passo 4

Substituindo na expressão do termo geral, temos:
T5 = binom84,(2a)^8-4(2a)^4

Passo 5

Agora calculamos as potências separadamente:
(2a)^4 = 2^4,a^4 = 16,a^4
(2a)^4 = 2^4,a^-4 = 16,a^-4
Multiplicando esses resultados, o fator “a” se anula e o fator numérico é 16 times 16 = 256.

Passo 6

Finalmente, calculamos o coeficiente binomial e montamos o termo:
binom84 = 70
Portanto,
T5 = 70 times 256 = 17920

Resposta

17920

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