Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral3^infty 1(x-2)^1 / 2 d x

Passo 1

O exercício pede para analisar a convergência da integral imprópria integral3^infty1(x-2)^1/2,dx. O conteúdo envolvido é integral imprópria com limite no infinito, e vamos precisar verificar o comportamento do integrando quando xtoinfty.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variável u=x-2. Quando x=3, temos u=1; quando xtoinfty, utoinfty. E dx=du. Assim a integral vira integral1^inftyu^-1/2,du.

Passo 3

Calculamos a primitiva de u^-1/2. Sabemos que para u^p com pneq-1, integral u^p,du=u^p+1p+1+C. Aqui p=-1/2, logo
integral u^-1/2,du=u^(-1/2)+1(-1/2)+1=2,u^1/2+C

Passo 4

Avaliamo-la nos limites de 1 até R e depois fazemos Rtoinfty:
2,u^1/2|1^R=2(raizR-1)

Passo 5

Como raizRtoinfty quando Rtoinfty, o valor da integral tende a infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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