Calcule S_{\text {Col }} para um elétron que penetra numa placa de alumínio com energia cinética de 50 MeV. Dados: I_{A l}=166 \mathrm{eV}, Z_{A l}=13, A_{A l}=26,982 \mathrm{g} / \mathrm{mol}, \delta=5,068.

Passo 1

O enunciado pede o poder de parada colisional (mass stopping power) S_{\text{Col}} para elétrons de energia cinética \(E_{\text{kin}}=50,\mathrm{MeV}) que atravessam alumínio. O conteúdo aplicado é a fórmula de Bethe para partículas carregadas leves, adaptada a elétrons:
S_{\text{Col}} =\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}\bigg/\rho =\frac{K}{A}\,\frac{Z}{\beta^2}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{2\,m_e c^2\,\beta^2\gamma^2}{I}\bigr)-\beta^2-\tfrac{\delta}{2}\Bigr],
onde
K=4\pi N_A r_e^2 m_e c^2=0{,}307075, \mathrm{MeV\,cm^2/mol},
Z e A são número atômico e massa atômica do alumínio,
I é energia média de excitação,
\delta é correção de densidade,
\beta e \gamma vêm de relatividade,
• as unidades finais de S_{\text{Col}} são \mathrm{MeV\,cm^2/g}.

Passo 2

Calculamos primeiro \gamma e \beta para elétrons de energia cinética E_{\text{kin}}=50, \mathrm{MeV}. Como m_e c^2=0{,}511, \mathrm{MeV},
\gamma = 1 + \frac{E_{\text{kin}}}{m_e c^2} =1+\frac{50}{0{,}511}\approx99{,}85,
\beta^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \approx1 - \frac{1}{(99{,}85)^2} \approx0{,}9999.

Passo 3

Agora montamos o argumento do logaritmo:
\frac{2\,m_e c^2\,\beta^2\gamma^2}{I} =\frac{2\cdot0{,}511\cdot0{,}9999\cdot(99{,}85)^2}{0{,}000166} \approx6{,}15\times10^{7},
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\ln\!\bigl(\tfrac{2\,m_e c^2\,\beta^2\gamma^2}{I}\bigr) \approx\ln(6{,}15\times10^{7}) \approx17{,}95.

Passo 4

Substituímos na fórmula de Bethe usando Z=13, A=26{,}982, \mathrm{g/mol}, I=166, \mathrm{eV}=0{,}000166, \mathrm{MeV} e \delta=5{,}068:
\frac{K}{A}\,\frac{Z}{\beta^2} =0{,}307075\;\frac{13}{26{,}982}\;\frac{1}{0{,}9999} \approx0{,}148\;\mathrm{MeV\,cm^2/g}.
O colchete fica
17{,}95 - 0{,}9999 - \frac{5{,}068}{2} =17{,}95 - 0{,}9999 - 2{,}534 \approx14{,}416.
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S_{\text{Col}} \approx0{,}148\times14{,}416 \approx2{,}14\;\mathrm{MeV\,cm^2/g}.

Resposta

S_{\text{Col}}\approx2{,}14\;\mathrm{MeV\,cm^2/g}.

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