Um elétron é acelerado num LINAC (acelerador linear) e alcança a energia cinética de 10 MeV ; no final da sua trajetória ele atinge um alvo para produzir raios X. Para o elétron, calcule (a) a energia total E, (b) o fator de Lorentz \gamma, (c) a velocidade v do elétron e (d) sua massa m(v).

Passo 1

O enunciado diz que um elétron atinge energia cinética de 10\\ \text{MeV} num LINAC. A energia de repouso do elétron é m_{0}c^{2}=0,511\\ \text{MeV}. Para resolver vamos usar as fórmulas da relatividade restrita:
E=\gamma m_{0}c^{2},\quad K=(\gamma-1)m_{0}c^{2},\quad v=c\sqrt{1-\gamma^{-2}},\quad m(v)=\gamma m_{0}.

Passo 2

A energia total E é a soma da energia de repouso e da energia cinética. Logo,
E = K + m_{0}c^{2} = 10\\ \text{MeV} + 0,511\\ \text{MeV} = 10,511\\ \text{MeV}.

Passo 3

O fator de Lorentz \gamma é dado por
\gamma = \frac{E}{m_{0}c^{2}} = \frac{10,511\\ \text{MeV}}{0,511\\ \text{MeV}} \approx 20,57.

Passo 4

A velocidade v do elétron satisfaz
v = c\,\sqrt{1 - \gamma^{-2}} = c\,\sqrt{1 - \frac{1}{(20{,}57)^{2}}} \approx 0,9988\,c \approx 2,996\times10^{8}\\ \text{m/s}.

Passo 5

A massa relativística é
m(v) = \gamma\,m_{0}.
Tomando m_{0}=9,109\times10^{-31}\\ \text{kg}, resulta
m(v) = 20{,}57 \times 9{,}109\times10^{-31}\\ \text{kg} \approx 1,87\times10^{-29}\\ \text{kg}.

Resposta

(a) E = 10{,}511\\ \text{MeV}
(b) \gamma \approx 20{,}57
(c) v \approx 0{,}9988\,c \approx 2{,}996\times10^{8}\\ \text{m/s}
(d) m(v) \approx 1{,}87\times10^{-29}\\ \text{kg}

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