Calcule a TFD de cada uma das seguintes sequências (considere N par)
x(n)=\left\{\begin{array}{c}1, n \text { par } \\\\ 0, n \text { ímpar }\end{array}, 0 \leq n \leq N-1\right.í

Passo 1

O enunciado pede a DFT da sequência x(n) definida por x(n)=1 se n é par e x(n)=0 se n é ímpar, para 0\le n\le N-1 com N par.
Vamos usar a definição
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, escrevemos x(n) em função de (-1)^n. Note que
para n par temos (-1)^n=1 e para n ímpar (-1)^n=-1. Assim
x(n)=\frac{1+(-1)^n}{2}.

Passo 3

Substituindo na definição de DFT, obtemos
X(k) =\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1+(-1)^n}{2}\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.

Passo 4

Avaliaremos cada soma separadamente.
A primeira soma é a soma de todas as raízes de unidade:
\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} =N\,\delta[k],
onde \delta[k]=1 se k\equiv0\pmod N e zero caso contrário.
Na segunda soma usamos (-1)^n=e^{j\pi n}, logo
\sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} =\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j2\pi n\bigl(\frac{k}{N}-\tfrac12\bigr)} =N\,\delta\bigl[k-\tfrac{N}{2}\bigr],
onde o delta vale 1 quando k\equiv N/2\pmod N.

Passo 5

Combinando os resultados,
X(k) =\frac{1}{2}\,N\,\delta[k] +\frac{1}{2}\,N\,\delta\bigl[k-\tfrac{N}{2}\bigr] =\frac{N}{2}\,\delta[k] +\frac{N}{2}\,\delta\bigl[k-\tfrac{N}{2}\bigr].

Resposta

X(k)=\dfrac{N}{2} para k=0 e k=\dfrac{N}{2}; X(k)=0 nos demais valores de k.

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