Calcule todas as derivadas
. de
. Quais são iguais e quais diferentes.?
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de terceira ordem de
ou seja
.
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais sucessivas usando a regra do poder e, para os mistos, o teorema de Clairaut garante que as derivadas mistas continuas são iguais quaisquer que seja a ordem de diferenciação.
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais sucessivas usando a regra do poder e, para os mistos, o teorema de Clairaut garante que as derivadas mistas continuas são iguais quaisquer que seja a ordem de diferenciação.
Passo 2
Calcular as derivadas de primeira ordem aplicando a regra do poder em cada variável:
Passo 3
A partir de
e
, obtemos as de segunda ordem:
Passo 4
Agora as derivadas de terceira ordem, diferenciando cada segunda ordem:
Passo 5
Agrupando pelo teorema de Clairaut, os mistos coincidem:
-
. -
.
As não-mistas são únicas: -
. -
.