Calcule todas as derivadas fx x x, fx x y ldots. de f=x^3 y^3. Quais são iguais e quais diferentes.?

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de terceira ordem de
f(x,y)=x^3y^3
ou seja
,fxxx,,fxxy,,fxyx,,fxyy,,fyxx,,fyxy,,fyyx,,fyyy.
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais sucessivas usando a regra do poder e, para os mistos, o teorema de Clairaut garante que as derivadas mistas continuas são iguais quaisquer que seja a ordem de diferenciação.

Passo 2

Calcular as derivadas de primeira ordem aplicando a regra do poder em cada variável:
fx = partialpartial x(x^3y^3) = 3x^2y^3,
fy = partialpartial y(x^3y^3) = 3x^3y^2

Passo 3

A partir de fx e fy, obtemos as de segunda ordem:
fxx = partialpartial x(3x^2y^3) = 6x,y^3,
fxy = partialpartial y(3x^2y^3) = 9x^2,y^2,
fyx = partialpartial x(3x^3y^2) = 9x^2,y^2,
fyy = partialpartial y(3x^3y^2) = 6x^3,y

Passo 4

Agora as derivadas de terceira ordem, diferenciando cada segunda ordem:
fxxx = partialpartial x(6x,y^3) = 6y^3,
fxxy = partialpartial y(6x,y^3) = 18x,y^2,
fxyx = partialpartial x(9x^2,y^2) = 18x,y^2,
fxyy = partialpartial y(9x^2,y^2) = 18x^2,y,
fyxx = partialpartial x(9x^2,y^2) = 18x,y^2,
fyxy = partialpartial y(9x^2,y^2) = 18x^2,y,
fyyx = partialpartial x(6x^3,y) = 18x^2,y,
fyyy = partialpartial y(6x^3,y) = 6x^3

Passo 5

Agrupando pelo teorema de Clairaut, os mistos coincidem:
  • fxxy = fxyx = fyxx = 18x,y^2.
  • fxyy = fyxy = fyyx = 18x^2,y.
    As não-mistas são únicas:
  • fxxx = 6y^3.
  • fyyy = 6x^3.

Resposta

fxxx=6y^3,
fxxy=fxyx=fyxx=18x,y^2,
fxyy=fyxy=fyyx=18x^2,y,
fyyy=6x^3

Exercícios relacionados