QUESTÃO 1 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) funções entre aquelas apresentadas abaixo. Defina se essas séries são convergentes ou divergentes.
sumk=0^infty (-1)(d^k-k^d)(k+d)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=0^infty (-1)l(d^k-k^dr)(k+d)!
é convergente ou divergente. Aqui vamos usar o Critério da Razão (também chamado de razão de d’Alembert) para testar convergência absoluta, o que implica convergência da série original.

Passo 2

Denominemos
ak = (-1)l(d^k-k^dr)(k+d)!
Para o critério da razão, estudamos
|ak+1ak|

Passo 3

Calculemos a razão de termos em valor absoluto:
|ak+1ak| = l|,d^k+1-(k+1)^dr|l|,d^k-k^dr|;(k+d)!(k+1+d)! = l|,d^k+1-(k+1)^dr|l|,d^k-k^dr|;1k+1+d

Passo 4

Para grandes k, temos d^k+1 e d^k dominando (k+1)^d e k^d. Assim
l|,d^k+1-(k+1)^dr|l|,d^k-k^dr| ;longrightarrow; d^k+1d^k = d
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limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty dk+1+d = 0
Como esse limite L=0 satisfaz L<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série
sumk=0^infty(-1)l(d^k-k^dr)(k+d)!
é convergente (na verdade, converge absolutamente).

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