QUESTÃO 2 - Escolha 2 ( 4 se for dupla; 6 se for trio) funções entre aquelas apresentadas abaixo; se existirem, estabeleça os valores da variável x que fazem com que essas funções sejam convergentes. Em outras palavras, defina o intervalo de convergência das séries escolhidas.
sumk=0^infty(xa)^bk

Passo 1

O enunciado dá a série
sumk=0^inftyl(xar)^b,k
que é uma série geométrica de razão r = l(tfracxar)^b. Vamos usar o critério de convergência para séries geométricas, que diz que ela converge se, e somente se, lvert rrvert<1.

Passo 2

Impondo lvert rrvert<1, temos
llvertl(tfracxar)^brrvert < 1
Como b é um expoente fixo (assumimos inteiro positivo), isso equivale a
llverttfracxarrvert^b < 1

Passo 3

Tirando a b-ésima raiz (que preserva desigualdade pois b>0), obtemos
llverttfracxarrvert < 1 Longrightarrow lvert xrvert < lvert arvert

Passo 4

Nos pontos de fronteira x = pm a a razão vale pm1, e a série sum(pm1)^k não converge (nem condicionalmente). Logo, os extremos não fazem parte do intervalo de convergência.

Resposta

O intervalo de convergência é
-,lvert arvert < x < lvert arvert

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