Se f(x, y)=integralx^y d t / t, como é f(x, y) ? Calcule fx, fy.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=integralx^ydtt
e pede (1) escrever f(x,y) em forma fechada e (2) calcular as derivadas parciais fx e fy. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e as regras de derivação de ln.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e sabendo que
integraldtt=lnl|tr|+C,
temos
f(x,y) =lnl|tr||t=x^t=y =lnl|yr|-lnl|xr| =ln!l|tfracyxr|

Passo 3

Para as derivadas parciais usamos a regra de derivação de ln:
  • Diferenciando em relação a x, tratando y como constante:
fx(x,y) =partialpartial xl[-lnl|xr|r] =-1x
  • Diferenciando em relação a y, tratando x como constante:
fy(x,y) =partialpartial yl[lnl|yr|r] =1y

Resposta

f(x,y)=lnl|tfracyxr|, fx(x,y)=-1x, fy(x,y)=1y

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