Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
b) 
 .
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função 
 . Vamos usar derivadas parciais, regra da cadeia e regra do produto.
Passo 2
Para achar 
 , tratamos 
  como constante e aplicamos a regra da cadeia: derivada de 
  é 
  vezes a derivada do expoente 
  em relação a 
 , que é 
 . Assim, 
 .
Passo 3
Para achar 
 , tratamos 
  como constante e aplicamos a regra da cadeia: derivada de 
  é 
  vezes a derivada do expoente 
  em relação a 
 , que é 
 . Logo, 
 .
Passo 4
Para a segunda derivada 
 , derivamos 
  em relação a 
  usando produto e cadeia:
Passo 5
Para a derivada mista 
 , derivamos 
  em relação a 
 :
Passo 6
Pela igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), temos 
 .
Passo 7
Para a segunda derivada em 
 , 
 , derivamos 
  em relação a 
 :
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: