Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
b) f(x, y)=e^x^2 y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=e^x^2y. Vamos usar derivadas parciais, regra da cadeia e regra do produto.

Passo 2

Para achar fx, tratamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia: derivada de e^x^2y é e^x^2y vezes a derivada do expoente x^2y em relação a x, que é 2xy. Assim, fx=2xy,e^x^2y.

Passo 3

Para achar fy, tratamos x como constante e aplicamos a regra da cadeia: derivada de e^x^2y é e^x^2y vezes a derivada do expoente x^2y em relação a y, que é x^2. Logo, fy=x^2e^x^2y.

Passo 4

Para a segunda derivada fxx, derivamos fx=2xy,e^x^2y em relação a x usando produto e cadeia:
fxx&=partialpartial x(2xy),e^x^2y+2xy,partialpartial x(e^x^2y) &=2y,e^x^2y+2xy,(e^x^2ycdot2xy) &=2y,e^x^2y+4x^2y^2,e^x^2y &=e^x^2y(2y+4x^2y^2)

Passo 5

Para a derivada mista fxy, derivamos fx=2xy,e^x^2y em relação a y:
fxy&=partialpartial y(2xy),e^x^2y+2xy,partialpartial y(e^x^2y) &=2x,e^x^2y+2xy,(e^x^2ycdot x^2) &=2x,e^x^2y+2x^3y,e^x^2y &=2x(1+x^2y)e^x^2y

Passo 6

Pela igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), temos fyx=fxy=2x(1+x^2y)e^x^2y.

Passo 7

Para a segunda derivada em y, fyy, derivamos fy=x^2e^x^2y em relação a y:
fyy=x^2,partialpartial y(e^x^2y)=x^2,(e^x^2ycdot x^2)=x^4e^x^2y

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx=e^x^2y(2y+4x^2y^2),
fxy=fyx=2x(1+x^2y)e^x^2y,
fyy=x^4e^x^2y

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