Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
b)
.
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Vamos usar derivadas parciais, regra da cadeia e regra do produto.
Passo 2
Para achar
, tratamos
como constante e aplicamos a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada do expoente
em relação a
, que é
. Assim,
.
Passo 3
Para achar
, tratamos
como constante e aplicamos a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada do expoente
em relação a
, que é
. Logo,
.
Passo 4
Para a segunda derivada
, derivamos
em relação a
usando produto e cadeia:
Passo 5
Para a derivada mista
, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Pela igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), temos
.
Passo 7
Para a segunda derivada em
,
, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: