Determine a aproximação linear de f(x, y)=ln x-3 y em (7,2) e use-a para aproximar f(6,9 ; 2,06).

Passo 1

Estamos lidando com linearização de função de duas variáveis, ou seja, aproximar f(x,y)=ln x-3y por meio do plano tangente no ponto (7,2) e depois usar essa aproximação para estimar f(6,9,,2,06). Vamos precisar das derivadas parciais de f e do valor de f no ponto de apoio.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(7,2) e as derivadas parciais em (7,2):\n f(7,2)=ln7-3cdot2=ln7-6.\nA derivada parcial em relação a x é fx(x,y)=1/x, logo fx(7,2)=1/7.\nA derivada parcial em relação a y é fy(x,y)=-3, logo fy(7,2)=-3.

Passo 3

Agora montamos a aproximação linear (plano tangente):\n L(x,y)=f(7,2)+fx(7,2)(x-7)+fy(7,2)(y-2)Substituindo os valores: \n L(x,y)=ln7-6+17(x-7)-3(y-2)

Passo 4

Por fim, aproximamos f(6,9,2,06) por L(6,9,2,06). Calculando as diferenças: x-7=6,9-7=-0,1 e y-2=2,06-2=0,06. Então\n L(6,9,2,06)=ln7-6+17(-0,1)-3(0,06)approxln7-6-0,0142857-0,18approx-4,2484

Resposta

A aproximação linear é
L(x,y)=ln7-6+17(x-7)-3(y-2)
e, usando-a,
f(6,9,2,06)approx L(6,9,2,06)approx -4,2484

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