f(x, y)=x^2 e^y, P(3,0), u=15(3 i-4 j)
Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.

Passo 1

No enunciado, a gente tem a função f(x, y) = x² e^y, o ponto P(3,0) e o vetor unitário u = (3/5, –4/5). O que eles querem é a derivada direcional de f em P na direção de u, que é o gradiente de f em P projetado em u, então vamos precisar das derivadas parciais, do gradiente e depois do produto escalar com u.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x = 2x e^y, partial fpartial y = x^2 e^y

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto P(3,0) para achar o gradiente nesse ponto. Como e^0 = 1, dá:
nabla f(3,0) = l(2cdot3cdot1,,3^2cdot1r) = (6,9)

Passo 4

Fazer o produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário u. Então:
Duf(3,0) = nabla f(3,0) cdot u = (6,9) cdot l(tfrac35, -tfrac45r) = tfrac185 - tfrac365 = -tfrac185

Resposta

-185

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