Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(u, v) = \ln(u^{2} + v^{2}) $. Isso envolve usar o conceito de derivadas parciais, que são maneiras de ver como a função muda quando mudamos uma variável de cada vez. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $.
Para $ f_u $:
A derivada da função logarítmica $ \ln(x) $ é $ \frac{1}{x} $, então aplicando a regra da cadeia:
Para $ f_v $:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, $ f_{uu} $, que é a derivada de $ f_u $ em relação a $ u $.
Usando a regra do quociente:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 4
Vamos calcular agora $ f_{uv} $, que é a derivada de $ f_u $ em relação a $ v $.
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, calculamos $ f_{vu} $, que é a derivada de $ f_v $ em relação a $ u $. Por simetria, esperamos que $ f_{uv} = f_{vu} $.
Derivando em relação a $ u $:
Passo 6
Por último, vamos encontrar $ f_{vv} $, a derivada de $ f_v $ em relação a $ v $.
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(u, v) = \ln(u^{2} + v^{2}) $ são: