Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
d) f(u, v)=ln (u^2+v^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(u, v) = \ln(u^{2} + v^{2}) $. Isso envolve usar o conceito de derivadas parciais, que são maneiras de ver como a função muda quando mudamos uma variável de cada vez. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $.
Para $ f_u $:
f
A derivada da função logarítmica $ \ln(x) $ é $ \frac{1}{x} $, então aplicando a regra da cadeia:
u
Para $ f_v $:
v

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, $ f_{uu} $, que é a derivada de $ f_u $ em relação a $ u $.
fuu
Usando a regra do quociente:
fu
Isso pode ser simplificado para:
u

Passo 4

Vamos calcular agora $ f_{uv} $, que é a derivada de $ f_u $ em relação a $ v $.
fuv
Novamente, usando a regra do quociente:
fu

Passo 5

Agora, calculamos $ f_{vu} $, que é a derivada de $ f_v $ em relação a $ u $. Por simetria, esperamos que $ f_{uv} = f_{vu} $.
fvu
Derivando em relação a $ u $:
fv

Passo 6

Por último, vamos encontrar $ f_{vv} $, a derivada de $ f_v $ em relação a $ v $.
fvv
Usando a regra do quociente:
fv
Simplificando:
v

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(u, v) = \ln(u^{2} + v^{2}) $ são:
f(u, v) = ln(u^2 + v^2)
fuu = 2(v^2 - u^2)(u^2 + v^2)^2
fuv = fvu = -4uv(u^2 + v^2)^2

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