Considerando a solução dada em cada item, encontre uma segunda solução da EDO dada pelo Método da Redução de Ordem.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Método da Redução de Ordem na EDO de Euler-Cauchy
, sabendo que uma solução já é
. Vamos aplicar o método para obter uma segunda solução linearmente independente.
Passo 2
Para começar, colocamos a equação em forma padrão dividindo por
(supondo
):
Passo 3
No Método da Redução de Ordem supomos
. Então
Substituindo na EDO padrão obtém-se
Passo 4
Definimos
para reduzir a ordem. A equação vira
É uma EDO linear de 1ª ordem. O fator integrante é
. Multiplicando e integrando achamos
Então
Passo 5
A segunda solução é
. Escolhendo constantes
e
obtemos
e assim
Como multiplicar por constante não altera a independência, podemos usar
como segunda solução.
Resposta
A segunda solução é
.