Considerando a solução dada em cada item, encontre uma segunda solução da EDO dada pelo Método da Redução de Ordem.
x^2 y^prime prime+2 x y^prime=0 ; y1(x)=1

Passo 1

O enunciado pede para usar o Método da Redução de Ordem na EDO de Euler-Cauchy x^2y'' + 2xy'=0, sabendo que uma solução já é y1(x)=1. Vamos aplicar o método para obter uma segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Para começar, colocamos a equação em forma padrão dividindo por x^2 (supondo xneq0):
y'' + 2xy' = 0

Passo 3

No Método da Redução de Ordem supomos y=v(x),y1(x)=v(x). Então
y = v, y'=v', y''=v''
Substituindo na EDO padrão obtém-se
v'' + 2xv' = 0

Passo 4

Definimos u=v' para reduzir a ordem. A equação vira
u' + 2xu = 0
É uma EDO linear de 1ª ordem. O fator integrante é mu(x)=e^integral(2/x)dx=x^2. Multiplicando e integrando achamos
x^2u = C Rightarrow u = Cx^2
Então
v = integral u,dx = integral Cx^2dx = -Cx + D

Passo 5

A segunda solução é y=vcdot y1. Escolhendo constantes C=1 e D=0 obtemos
v(x)=-1x,
e assim
y2(x)=v(x)cdot 1 = -1x
Como multiplicar por constante não altera a independência, podemos usar
y2(x)=1x como segunda solução.

Resposta

A segunda solução é y2(x)=1x.

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